Supongamos que estamos usando la simulación de Monte Carlo para estimar el pi. Dibuja$n$ muestra aleatoria$(x,y)$ dentro de$(-1,1)$ y cuentas la cantidad de$x^2 + y^2 < 1$. Si desea estimar los kth dígitos de Pi utilizando este método, ¿cuántas muestras necesita? ¿Hay una forma estadística de dar un límite?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El área de un Círculo es $\pi\times r^2$ y el Área de un cuadrado en las coordenadas $(\pm1 , \pm1)$$4$. La relación de la zona de la plaza indicada para el círculo es $\pi/4$ debido a que el radio del círculo es $1$. Ahora bien, si nos muestra desde la plaza de la unidad y sólo aceptar los puntos del interior de la unidad cuadrada obtenemos aceptar la muestra $\pi/4$ por ciento del tiempo ($\pi/4$ es de menos de $1$). Un consistente e imparcial estimador de la media de la muestra de los indicadores (variables aleatorias que toman el valor de $1$ cuando en el interior del círculo) a partir de este esquema de muestreo. La media de la muestra ha varianza $p(1-p)/n$ donde $p=\Pr(X^2+Y^2<1)=\pi/4$. Una aproximación sería decir que el binomio variación, $p(1-p) < 1/4$, a continuación, utilizar el multiplicador de la aproximación de la distribución normal para obtener $1.96$ para obtener un punto superior del intervalo de confianza $\bar{x}_n + \frac{1.96}{4\sqrt{n}}$ a dentro de su nivel de precisión deseado. Supongamos que su exactitud es $10^{-k}$ algunos $k\in\{1,2,3,\dots \}$. Enlaza la parte superior de la desviación del intervalo de confianza límite superior de punto a ser menor que la precisión deseada:
$$\frac{0.7}{\sqrt{n}}\leq 10^{-k}.$$
La solución de la desigualdad de la $k$ da $n \geq 0.49 \times 100^{k}$. Si por el contrario prefiere usar una más exacta aproximación para $p=\Pr(X^2+Y^2<1)=\pi/4$, a continuación, reemplace $0.7$ por encima de con $1.96\times p(1-p)$ y resolver para $n$. Por lo tanto aquí si desea $k=2$ dígitos de precisión (en $95\%$ de confianza) es necesario que la muestra sea mayor que la de $0.49\times 100^2=4900.$ Nota usted todavía podría ser inexacta $5\%$ del tiempo.
