Deje que$T:V\rightarrow V$ sea lineal e inyectivo. Demuestre que si$V$ es de dimensión finita, entonces$T$ es sobreyectivo.

Question

¿Podrías ayudarme a resolver este problema?

Deje que$T:V\rightarrow V$ sea lineal e inyectivo. Demuestre que si$V$ es de dimensión finita, entonces$T$ es sobreyectivo. No está permitido utilizar el teorema de nulidad de rango.

Con el uso del teorema de RN, la pregunta parece ser muy simple, sin embargo, no estoy realmente seguro de cómo probarlo sin usar este teorema. Apreciaria cualquier sugerencia.

Answer 1

Un mapa lineal inyectivo envía conjuntos linealmente independientes a conjuntos linealmente independientes. Más precisamente,

Si$T\colon V\to W$ es un mapa lineal inyectivo y$\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente, entonces$\{T(v_1),T(v_2),\dots,T(v_n)\}$ es linealmente independiente.

De hecho, si $$ \ sum_ {k = 1} ^ n \ alpha_k T (v_k) = 0 $$ entonces $$ \ sum_ {k = 1} ^ n T (\ alpha_k v_k) = 0 $$ y, por inyectividad ,$\sum_{k=1}^n \alpha_k v_k=0$.

Si$\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ es una base para$V$ y$W=V$, tenemos que$\{T(v_1),T(v_2),\dots,T(v_n)\}$ es linealmente independiente en$V$. Entonces…