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Question

Demostrar que $$\int{0}^{\infty} \frac{\cos(x)}{1+x^2} dx = \frac {\pi}{2e}$ $ mi enfoque sería $$\lim{n \to \infty} \int_{0}^{n} \frac{\cos(x)}{1+x^2} dx$ $ y evaluar los límites de las funciones seno y coseno integradas, pero estoy bastante seguro de que hay una manera más fácil.

La segunda integral es $$\int_{0}^{\infty} \frac {\ln(x)}{x^2+b^2} dx, b > 0$ $ mi enfoque; Que $f$ ser una función analítica $$f(z)=\frac {\ln(z)}{z^2+b^2}$$ then the poles of $f $ would be at $% $ $z=ib, z=-ib$ahora no sé qué contorno para dibujar lo que sería en su interior.

Answer 1

Para la primera, el uso de la paridad a escribir como una integral sobre toda la recta real, reemplace$\cos x$$e^{ix}$, y usar el teorema de los residuos para evaluar

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{iz}}{1+z^2}\,dz.$$

Para la segunda integral, utilice un ojo de la cerradura de contorno para integrar

$$\frac{(\log z)^2}{z^2+b^2}.$$

Ya que los valores de $\log z$ difieren por $2\pi i$ cuando se aproxima el positivo de la mitad del eje desde abajo y desde arriba, después de la anulación de la $\int_0^\infty \frac{(\log x)^2}{x^2+b^2}\,dx$, lo que queda es la deseada integral (veces un factor constante) y un integrante de $\frac{C}{x^2+b^2}$ sobre el positivo de la mitad del eje que no representa ninguna dificultad.

Answer 2

Para el segundo, Tenemos que calcular, $$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+b^2} dx $$

Deje que nos calcule el caso más sencillo($b=1$) . yo.e $$ I = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+1} dx $$ Sustituyendo, $u= \frac{1}{x} \implies dx = \frac{-1}{u^2}du $

Así que nuestra integral de la $$I = \int_{0}^{\infty}\frac{-\ln(u)}{u^2+1} du = -I \implies I=0 $$ Ahora, volviendo a este problema, sustituimos $x=\frac{b}{u}$ en

$$ J = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+b^2} dx $$ Sustitución nos dará $$ J = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(b)}{x^2+b^2} dx - I $$ Desde $I=0$ , tenemos $$ J = \ln(b)\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+b^2} dx = \frac{\ln(b)}{b} \times \frac{\pi}{2} \Box$$

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Primero es muy famosa pregunta, es publicado aquí muchas veces. Ver aquí