Peculiar números

Question

Este es de el semanal desafío matemático de el periódico francés Le Monde.

"Mágicos" los números tienen una propiedad notable: cuando uno de ellos, decir $n$, se eleva al cuadrado, es tal que $n^2$ termina con $n$.

Por ejemplo, $76$ es uno de esos desde $76^2=5776$

Puede que la lista de estos números sin un CAS o una calculadora ?

$u$ es el número si y sólo si $\displaystyle u(u-1)=10^qm$ donde $q$ es el número de dígitos de $u$ (es decir, $\displaystyle \left\lfloor\frac{\ln(u)}{\ln(10)}\right\rfloor+1)$ $m$ es arbitrario.

Utilizando el hecho de que $u$ $u-1$ son coprime , soy capaz de encontrar el primer par de números por parte de algunos reducido de prueba-y-error : $5,6,25,76,376,625$.

Pero se vuelve tedioso con $4$ números de dos dígitos...

Alguien puede responder a la pregunta original ?

Answer 1

Si usted acaba de ver en el dígito de las unidades, se ve que mágico de los números debe terminar en $0, 1, 5, $ o $6$. Vamos a mostrar que la única mágico de los números que terminan en $1$$1, 01, 001, \dots$.

Si $u$ es un número de dos dígitos que termina en 1, a continuación, $u = 10x + 1$ para algunos dígitos $x$.

\begin{align} u(u - 1) &\equiv 0 \pmod{100}\\ (10n + 1)(10n) &\equiv 0 \pmod{100}\\ 10n &\equiv 0 \pmod{100}\\ n &\equiv 0 \pmod{10}\\ \end{align}

Por lo $u = 01$. Supongamos que, de manera inductiva, que la única $q$-dígitos de número mágico que termina en $1$$000\dots01$, donde hay $q - 1$ $0$s a la izquierda de $1$. A continuación, una $(q+1)$-dígitos de número mágico que termina en $1$ debe parecerse a $u = 10^q x + 1$ para algunos dígitos $x$. Razonamiento similar al que se muestra arriba se muestran ese $x = 0$. Se sigue por la inducción que, a continuación, sólo mágicos números que terminan en $1$$1, 01, 001, \dots$.

Razonamiento Similar se demuestra que la única mágico nubers que terminan en $0$ $0, 00, 000, \dots$

Hay una especie de patrón con la magia de los números que terminan en $5$. Los tres primeros se enumeran a continuación.

5²   =     25
25²  =    625
625² = 390625

Nota los mágicos números se forman anteponiendo un dígito a la anterior número mágico.

Tenga en cuenta también que el dígito antepuesto es la primera nonrepeated dígitos en $n^2$.

Para los próximos tres números deben ser

0625²   =       390625
90625²  =   8212890625
890625² = 793212890625

Donde tenemos que aceptar $0625$ como un número de cuatro dígitos.

Podemos probar esto.

Deje $N$ ser un q-dígitos de número mágico que termina en $5$.

Buscamos un dígito $\alpha$ de manera tal que el $(q+1)$-número de dígitos $N' = 10^q\alpha + N$ es el siguiente número mágico que termina en 5.

\begin{align} N'^2 - N' &\equiv 0 \pod{10^{q+1}}\\ (10^q\alpha + N)^2 - (10^q\alpha + N) &\equiv 0 \pod{10^{q+1}}\\ 2 \cdot 10^q\alpha N - 10^q\alpha + N^2 - N &\equiv 0 \pod{10^{q+1}}\\ -10^q\alpha + N^2 - N &\equiv 0 \pod{10^{q+1}}\\ 10^q\alpha &\equiv N^2 - N \pod{10^{q+1}}\\ \alpha &\equiv \dfrac{N^2 - N}{10^q} \pod{10}\\ \end{align}

Lo que significa que $\alpha$ es el primer no repetitivos dígitos de $N^2$.

Para encontrar el mágico números que terminan en $6$, ten en cuenta que

6²   =     36  and  5 + 6 = 11
76²  =   5776  and  25 + 76 = 101
376² = 141376  and  625 + 376 = 1001

Parece que los dos $q$dígitos mágico de los números, la que termina en $5$ y el otro que termina en $6$, suma a $10^q + 1$.

Resulta que esto es fácil de demostrar.

Deje $N$ ser un q-dígitos de número mágico que termina en $5$. Entonces

\begin{align} (10^q + 1 - N)^2 - (10^q + 1 - N) &\equiv (1 - N)^2 - (1 - N) \pod{10^q}\\ &\equiv N^2 - N \pod{10^q}\\ &\equiv 0 \pod{10^q}\\ \end{align}

así nos encontramos con

10001   -   0625 =   9376  and  9376²   =    87909376
100001  -  90625 =  09376  and  09376²  =    87909376
1000001 - 890625 = 109376  and  109376² = 11963109376