Grupos - probar que cada elemento es igual a la inversa del inverso del elemento

Question

Esta es mi primera prueba acerca de los grupos. Por favor, feed back y criticar en todos los sentidos (incluyendo estilo y lenguaje). Axioma de nombres (ver Wikipedia) están en cursiva. Utilizamos $^{-1}$ para denotar inversa elementos; $e$ denota el elemento de identidad.

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Deje $(G, \cdot)$ ser un grupo. Por $\textit{identity element}$, $G \ne \emptyset$. Ahora, vamos a $a \in G$. Por $\textit{inverse element}$, $a^{-1} \in G$ y $(a^{-1})^{-1} \in G$. Queda por demostrar que $(a^{-1})^{-1} = a$. \begin{equation*} \begin{split} a &= a \cdot e && \text{by }\textit{identity element} \\ &= a \cdot \Big(a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1}\Big) && \text{by }\textit{inverse element} \\ &= (a \cdot a^{-1}) \cdot (a^{-1})^{-1} && \text{by }\textit{associativity} \\ &= e \cdot (a^{-1})^{-1} && \text{by }\textit{inverse element} \\ &= (a^{-1})^{-1} && \text{by }\textit{identity element} \end{split} \end{ecuación*} QED

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Pd: Lo que sí sé es que tengo una preferencia personal para obtener más detalles y claridad :-(

Answer 1

¡En primer lugar, la prueba es absolutamente fina! Hay una forma más elegante para probar este hecho sin embargo. Inversos son únicos en grupos, $(a^{-1})^{-1}$ es el único elemento del grupo satisfacer $$ (un ^ {-1}) ^ {-1} (un ^ {-1}) = (un ^ {-1}) (un ^ {-1}) ^ {-1} = e. $$ por otra parte, sabemos que $a$ satisface $$ un (un ^ {-1}) = (un ^ {-1}) un = e, $$ por lo que concluimos $a=(a^{-1})^{-1}$ de la singularidad de elementos inversos en un grupo.