¿Automorfismo $f$ que $f(x)=x^{-1}$ para la mitad de los miembros del Grupo: es una involución?

Question

Que $G$ un grupo finito.

Que $f: G \to G$ un automorfismo, por lo menos la mitad de los elementos del grupo son enviados a sus inversos, es decir $$\mathrm{card}({g \in G|f(g) = g^{-1}}) \geq \frac{\mathrm{card}(G)}{2}.$ $
¿Pregunta : es $f$ una involución?

(Sé que la gente considera que la identidad no es una involución, pero para mí una involución es sólo una función $h$ tal que $h\circ h = \mathrm{id}$).

Gracias.

Answer 1

Yo creo que sí.

Deje $X$ el conjunto de elementos de $G$ invertido por $f$, e $H$ ser el subgrupo generado por a $X$.

Un elemento $h$ $H$ es un producto de los elementos invertidos por $f$, lo $H$ es invariante bajo la acción de $f$ (que es $f(H)=H$), y si aplicamos $f$ dos veces en la $h$ obtenemos $h$. Esto equivale a decir que el $f$ induce una involución en $H$.

Si $H=G$ hemos terminado. Si $H <G$,$1 < |G:H| \leq |G|/|X| \leq 2$, se deduce que el $|G:H|= |G|/|X|=2$, por lo que el $H=X$ (desde $H$ contiene $X$). Esto demuestra que $H$ es normal, y como es invariante bajo $f$, $f$ induce un automorphism en el grupo cíclico de orden 2, $G/H$. De ello se desprende que $f$ es la identidad en $G/H$, por lo que si $y \in G-H$, $f(y)=yh$ algún elemento $h\in H=X$. Tenemos $$f^2(y)=f(yh)=f(y)h^{-1}=yhh^{-1}=y.$$ Ahora, cualquier elemento de $G$ que no está en $H$ tiene la forma $yx$ algunos $x \in H$. De ello se desprende que $f^2(yx)=f^2(y)f^2(x)=yx$. Si tomamos un elemento $x$$H=X$, entonces claramente $f^2(x)=x$. Por lo tanto $f$ es una involución.