Que $f(x) =7x^{32}+5x^{22}+3x^{12}+x^2$. Entonces encontrar su resto en los siguientes casos.

Question

Que $f(x) =7x^{32}+5x^{22}+3x^{12}+x^2$.

(i) encontrar luego el resto cuando se divide $f(x)$ $[x^2+1]$.

(ii) encontrar el resto cuando se divide $xf(x)$ $[x^2+1]$.

Dado tanto los restos será el % de forma $4(ax+b)$.

El 'método de división larga polinómica' puede aplicarse, pero que no sea lógica, ya que su demasiado un proceso.

¿Me puede decir cualquier otro proceso más corto y más fácil?

Gracias.

Answer 1

Para el primer caso, tenga en cuenta que están involucrados sólo incluso poderes de $x$, por lo que se puede sustituir $y=x^2$. En este caso usted debe encontrar el resto de $7y^{16}+5y^{11} + 3y^6 + y$ dividido por $y+1$, es decir, $$7(-1)^{16}+5(-1)^{11} + 3(-1)^6 + (-1) = 4$ $

Así que usted tiene $f(x) = q(x)(x^2+1)+4$, donde $q(x)$ algunos es polinomio.

De esto sigue que $xf(x) = xq(x)(x^2+1) +4x$, por lo que el resto de segunda es $4x$.

Answer 2

(i) tenga en cuenta que $f(i)=7-5+3-1=4$, por lo que el resto es $4$.

(ii) tenga en cuenta que $if(i)=7i-5i+3i-i=4i$, por lo que el resto es $4x$.

Este método utiliza el isomorfismo $\dfrac{\mathbb{Z}[x]}{(x^2+1)}\simeq\mathbb{Z}[i]$, $\varphi(x)=i$.

Answer 3

Sugerencia $\ {\rm mod}\,\ x^2!+1!:\,\ \color{#c00}{x^2\equiv -1}\,\Rightarrow\, f(\color{#c00}{x^2})\equiv f(\color{#c00}{-1}),\ $ $\,xf(\color{#c00}{x^2})\equiv xf(\color{#c00}{-1}),\ $ $\ f\in\Bbb Z[x]$