¿Cómo mostrar que $\langle a,b \mid aba^{-1}ba = bab^{-1}ab\rangle$ es no abeliano?

Question

Me gustaría mostrar que <span class="math-container">$$ G = \langle, aba de \mid b ^ {-1} ba = bab ^ {-1} ab\rangle $$</span> es no abeliano.

He intentado encontrar un homomorfismo sobreyectiva de <span class="math-container">$G$</span> a un no - Abelian grupo, pero no he encontrado uno. El contexto es que me gustaría demostrar que el complemento de nudo en<span class="math-container">$8$</span> figura es mediante grupos de nudos no triviales.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Poner <span class="math-container">$\xi = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{5})$</span>. El mapa <span class="math-container">$G \to GL_2(\mathbb{R})$</span> por <span class="math-container">\begin{align} a &\to \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & \xi\end{pmatrix} b & \to\begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & \xi\end{pmatrix} \end{align}</span> es bien definido con imagen de nonabelian.

Answer 2

Ya que la etiqueta de este con knot-theory y knot-invariants, parece que están tratando de mostrar el grupo fundamental del nudo complementar $S^3-4_1$ es nonabelian.

Uno de los "obvios" de cosas para probar es Fox $n$colorear, ya que el rendimiento de un homomorphism (generalmente surjective) a un diedro grupo. Hay un $5$-colorante (el uso de $0,4,1,2$ a medida que avanza el nudo, que se puede comprobar satisface $2b\equiv a+c\pmod{5}$ en cada cruce). Desde $5$ es un primer y el colorante es no constante, la correspondiente homomorphism de $\pi_1(S^3-4_1)$ a $D_{2\cdot 5}$, el diedro grupo de orden $10$, es surjective.