Acabo de empezar a jugar con bastante sencillo periódico fracciones continuas, y tengo una pregunta. Las fracciones pueden ser representados "linealmente": para $n\in\Bbb N$, $$K(n)=[0;\overline{1,2,3,...,n}]$$ Estoy buscando una forma cerrada para $K(n)$. Me encontré con los primeros.
$n=1$: $$K(1)=\frac1{1+K(1)}$$ $$\Rightarrow K(1)=\frac{-1\pm\sqrt{5}}2$$ $n=2$: $$K(2)=\frac1{1+\frac1{2+K(2)}}$$ $$\Rightarrow K(2)=-1\pm\sqrt{3}$$ $n=3$: $$K(3)=\frac1{1+\frac1{2+\frac1{3+K(3)}}}$$ $$\Rightarrow K(3)=\frac{-4\pm\sqrt{37}}3$$ $n=4$: $$K(4)=\frac1{1+\frac1{2+\frac1{3+\frac1{4+K(4)}}}}$$ $$\Rightarrow K(4)=\frac{-9\pm2\sqrt{39}}5$$ Como usted puede ser capaz de decir, estos resultados se encuentran todos al simplificar la fracción, hasta que uno tiene una ecuación cuadrática en $K(n)$, punto en el cual la fórmula cuadrática se puede aplicar.
Me sorprendería si no había una forma cerrada de expresión para $K(n)$, ya que se pueden encontrar de la misma manera. He fallado a reconocer los patrones numéricos en los resultados, sin embargo.
Así que tengo dos preguntas:
$1)$: ¿Cómo hace uno para expresar $K(n)$ en la $\operatorname{K}_{i=i_1}^\infty \frac{a_i}{b_i}$ notación? Yo estaba pensando en algo como $$K(n)=\operatorname{K}_{i\geq0}\frac1{1+\operatorname{mod}(i,n)}$$ $2)$: ¿Qué es una forma cerrada para $K(n)$?
Gracias.
Actualización:
Estoy bastante seguro de que todos los $\pm$ signos en el principio de la pregunta debe ser cambiado a un $+$ signo.
