En la Plaza $ABCD$, demostrar que $BF+DE=AE$.

Question

Considerar el Cuadrado de $ABCD$. El punto de $E$ está en el lado $CD$. Si $F$ está en el lado $BC$ tal que $AF$ es la bisectriz del ángulo $BAE$. Demostrar que $$BF+DE=AE.$$ Por el teorema de Pitágoras tenemos $(AD)^2+(DE)^2=(AE)^2$ entonces $DE=\sqrt{(AE)^2-(AD)^2}$ también, $DE=AE\sin(EAD)$ e $BF=AF\sin(BAF)$ en el otro lado tenemos a $BAE+EAD=90^0$

Answer 1

Sugerencia: Gire el $F$ todo $A$ para $90^{\circ}$ (tiene un nuevo nombre de punto de se $H$) y $B$ va a la $D$. Tenga en cuenta que $E,D,H$ son colineales. Ahora el uso de los teoremas de congruencia. (Demostrar que $HE =EA$.)

Answer 2

Que <span class="math-container">$AB=x$</span> y ángulo <span class="math-container">$<baf> DE=x\tan(\frac{\pi}{2}-2\alpha),\; BF=x\tan\alpha=>$</baf></span> <span class="math-container">$$ \BF+DE=x(\tan(\frac{\pi}{2}-2\alpha)+\tan\alpha)=x(\cot2\alpha+\tan\alpha) \AE=\frac{x}{\cos(\frac{\pi}{2}-2\alpha)} = \frac {x} {\sin2\alpha} \BF+DE=AE = \cot2\alpha+\tan\alpha = \frac{1}{\sin2\alpha} = \\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha $$</span>