Desplazamientos mutuamente matriz con $A_i^2=0$

Question

Deje $A_1,\dots,A_n$ ser mutuamente de trayecto $m\times m$ matrices tales que $A_i^2=0$ para todos los $1\le i \le n$. Si $m<2^n$, demuestran que, a $A_1 A_2\cdots A_n=0$

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Desde $A_i^2=0$ Lo $\operatorname{Im}(A)\subset \ker(A) \implies \dim(\ker(A))\ge \frac m 2$ yo creo que vamos a utilizar para probar ..pero no saben cómo ir a través de ...

Answer 1

Deje $x\in K^m$.

A continuación, $A_1x\in Im(A_1)$, espacio vectorial de dimensión $\leq m/2$.

En la secuela, $\tilde{U}$ denota una restricción de $U$.

$\tilde{A_2}:Im(A_1)\rightarrow Im(A_1)$ es $2$-nilpotent. A continuación, $A_2A_1x\in Im(\tilde{A_2})$,

espacio vectorial de dimensión $\leq dim(Im(A_1))/2\leq m/2^2$, y así sucesivamente $\tilde{A_3}:Im(\tilde{A_2})\rightarrow Im(\tilde{A_2})$ es $2$-nilpotent,....

$\tilde{A_n}:Im(\tilde{A_{n-1}})\rightarrow Im(\tilde{A_{n-1}})$ es $2$-nilpotent. A continuación, $A_n\cdots A_1x\in Im(\tilde{A_n})$, espacio vectorial de dimensión $\leq dim(Im(\tilde{A_{n-1}}))/2\leq m/2^n<1$.

Finalmente, $Im(\tilde{A_n})=\{0\}$ y hemos terminado.

Answer 2

Edit. La respuesta parece ser la única respuesta parcial por la forma particular de nilpotent matrices.

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Mutuamente desplazamientos significa que todas las matrices pueden ser representados de forma simultánea como, por ejemplo, triangular superior.

Por supuesto, están todas nilpotent y (aquí asunción de la forma de matrices) el primer no-cero "mini-diagonal de esta matriz es desplazado de la diagonal principal, al menos redondeadas $m/2$.
(hágase el análisis de la dimensión $m$ pares e impares)

Por ejemplo la matriz de

$\begin{bmatrix} 0\color{red}\rightarrow & 0\color{red}\rightarrow & 0\color{red}\rightarrow & \color{red}1 & 3 \\ 0 & 0\color{red}\rightarrow & 0\color{red}\rightarrow & 0\color{red}\rightarrow & \color{red}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

primero ha minidiagonal (rojo) cambió por $3$ posiciones de la diagonal principal.

En la multiplicación de los valores de los turnos de tales matrices son agregó.
Me refiero a que si $A=A_1A_2$ , a continuación, mayús($A$)=shift($A_1$)+mayús($A_2$).

En este caso, $A^2$ debería tener mayús $6>5$ lo que significa que $A^2=0$.

(Si cambio eran por $2$ con $A^2$ resultado cambio sería $ 4$ lo que es demasiado poco para llegar a la matriz cero en el caso general.)

La multiplicación $A_1A_2 \dots A_n$ significa que el resultado de la matriz se ha modificado, al menos, $nm/2$ lo que es cumplido plenamente si $m<2^n$.

Mira algunos ejemplos. Para $n=2$ tenemos límite para $m$ igual 3. Resultado el menor cambio $3$.

Para $n=3$ tenemos límite para $m$ igual a 7. Resultado de turno $12$

Para $n=4$ tenemos límite para $m$ igual a 15. Resultado de turno $30$,

Siempre resultado de turno es más grande, a continuación, $m$ lo que significa que obtenemos la matriz cero.