¿Un ejemplo donde el principio de probabilidad * realmente * importa?

Question

Hay un ejemplo donde la probabilidad de principio (LP) daría marcadamente diferentes (e igualmente defendibles) inferencias?

En todos los ejemplos que veo es muy tonto, la comparación de un binomio con una binomial negativa, donde el p-valor de la primera es de 7% y de la segunda el 3%, que son "diferentes" sólo en la medida en que uno está haciendo binario de las decisiones arbitrarias de los umbrales de importancia, tales como el 5%. Si puedo cambiar el umbral de 1%, por ejemplo, que ambos conducen a la misma conclusión.

Nunca he visto un ejemplo en donde se llevaría a marcadamente diferentes y defendible inferencias. Hay un ejemplo?

Estoy preguntando porque he visto tanta tinta gastados en este tema, como si el LP es algo fundamental en los fundamentos de la inferencia estadística. Pero si el mejor ejemplo que uno tiene son tontas ejemplos como el anterior, el principio parece completamente intrascendente.

Por lo tanto, estoy buscando un muy convincente ejemplo, donde si uno utiliza el LP el peso de la evidencia sería abrumadoramente apuntando en una dirección, mientras que si uno no usa el LP, el peso de la evidencia sería abrumadoramente apuntando en una dirección opuesta, y ambos conclusiones mirada sensible.

Idealmente, se podría demostrar que podemos tener arbitrariamente lejos, sin embargo, sensible, respuestas, tales como $p =0.1$ versus $p= 10^{-10}$ proporcional de las probabilidades.

PS: Bruce respuesta no abordar la cuestión en absoluto.

Answer 1

Esquema de LR pruebas para exponencial de datos.

Deje $X_1, X_2, \dots, X_n$ ser una muestra aleatoria de $\mathsf{Exp}(\text{rate} =\lambda),$ , de modo que $E(X_i) = \mu = 1/\lambda.$ Para $x > 0,$ la función de densidad es $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$y el CDF es $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}.$

1. Estadístico de prueba es de muestra mínimo.

Deje $V = X_{(1)} = \min_n (X_i).$ Luego $V \sim \mathsf{Exp}(n\lambda).$ Como un esbozo de la prueba, $$P(V > v) = P(X_1 > v, \dots, X_n > v) = \left[e^{-\lambda v}\right)^n= e^{-n\lambda v},$$ de modo que $P(V \le v) = 1 - e^{-n\lambda v},$ para $v > 0.$

A prueba de $H_9:\mu \le \mu_0$ contra $H_a: \mu > \mu_0,$ a nivel de $\alpha = 5\%,$ consideramos $V$ como una sola observación a partir de su distribución exponencial. Nos encontramos con que el registro de cociente de probabilidad indica rechazo al $V > c,$ donde $P(V > c\, |\, \mu = \mu_0) = 0.05.$

Para el caso específico en el que $n = 100$ e $\mu_0 =10,\, \lambda_0 = 0.1,$ hemos ritmo exponencial $10 = n/\mu_0 = 100/10 = 10,$ , de modo que $c = 0.2295$ de R, donde la distribución exponencial es parametrizada por la tasa.

 qexp(.95, 10)
 [1] 0.2995732
 1 - pexp(0.2996, 10)
 [1] 0.04998662

En consecuencia, el poder en contra de la alternativa de $\mu_a = 100$ (tasa $n/\mu_a = 1)$ es de alrededor de 74%.

1 - pexp(0.2996, 1)
[1] 0.7411146

2. Estadístico de prueba es la media de la muestra.

Oxford U. de las notas de clase (segunda página) muestran que la prueba de razón de verosimilitud de $H_0: \mu \le \mu_0$ contra $H_0: \mu > \mu_0$ en el 5% de nivel de significación rechaza por $\bar X > c,$ donde $P(\bar X > c\, |\, \mu = \mu_0) = 0.5.$ Además, se puede demostrar que el uso de momento la generación de funciones que $\bar X \sim \mathsf{Gamma}(n, n\lambda).$

Para el caso específico en el que $n = 100$ e $\mu_0 =10,\, \lambda_0 = 0.1,$ tenemos $\bar X \sim \mathsf{Gamma}(100, 10),$ , de modo que $c = 11.7.$

qgamma(.95, 100, 10)
[1] 11.69971
1 - pgamma(11.7, 100, 10)
[1] 0.04997338

En consecuencia, el poder contra la alternativa de $\mu_a = 14$ es acerca de 95.6%.

1 - pgamma(11.7, 100, 100/14)
[1] 0.9562513

Claramente, para los efectos de la comprobación de hipótesis acerca de la media exponencial $\mu,$ la información de la estadística suficiente $\bar X$ es mucho mayor que la la información de la muestra mínimo.