Cómo mostrar$(\exists x)( \forall y)\varphi\rightarrow( \forall y)(\exists x)\varphi $ es lógicamente válido

Question

Cómo mostrar $(\exists x)( \forall y)\varphi\rightarrow( \forall y)(\exists x)\varphi $ es lógicamente válido

Aquí va mi intento:

Asumir que no es lógicamente válido. Entonces, hay una interpretación $\mathscr{M}$ por lo que no es cierto. Por lo tanto, hay una secuencia $\vec a$ en el dominio $M$ de $\mathscr{M}$ tales que 1) $ \vec a$ satisface $(\exists x)( \forall y)\varphi$ y 2) $\vec a$ no satisface $( \forall y)(\exists x)\varphi$

1) $\vec a$ satisface $(\exists x)( \forall y)\varphi$ $\iff$ $\vec a$ no satisface $(\forall x)( \exists y)\neg\varphi$ $\iff$ $\vec a$ no satisface $( \exists y)\neg\varphi$ $\iff$ $\vec a$ satisface $( \forall y)\varphi$ $\iff$ $\vec a$ satisface $\varphi$

2) $\vec a$ no satisface $( \forall y)(\exists x)\varphi$ $\iff$ $\vec a$ no satisface $(\exists x)\varphi$ $\iff$ $\vec a$ satisface $(\forall x)\neg\varphi$ $\iff$ $\vec a$ satisface $\neg\varphi$

Desde $\vec a$ cumplir $\varphi$ e $\neg\varphi$, lo cual es una contradicción, entonces la fórmula debe ser válido.

Es correcto mostrar de esta manera?

Editar:
1) Si $\vec a$ satisface $(\exists x)( \forall y)\varphi$, yo.e $\neg \forall x(\neg\forall y(\varphi))$, luego tenemos a $\vec a$ no satisface $\forall x(\neg\forall y(\varphi))$ . Entonces, existe al menos una secuencia $\vec a'$ diferentes de $\vec a$ en la mayoría de la i-ésima componente de la no satisfacción de $\neg\forall y(\varphi)$. Entonces, quiere decir $\vec a'$ satisface $( \forall y)\varphi$.
2) Si $\vec a$ no satisface $( \forall y)(\exists x)\varphi$, yo.e $( \forall y)\neg(\forall x)(\neg\varphi)$, entonces hay al menos una secuencia $\vec a''$ diferentes de $\vec a$ en la mayoría de los j componente de la no satisfacción de $\neg(\forall x)(\neg\varphi)$. Entonces, quiere decir $\vec a''$ satisface $(\forall x)\neg\varphi$.
Ahora, tenemos $\vec a'$ satisface $( \forall y)\varphi$ e $\vec a''$ satisface $(\forall x)\neg\varphi$. Entonces, existe al menos una secuencia $\vec a'''$ diferentes de $\vec a$ en la mayoría de las $i$th y $j$th componente de la satisfacción de $\varphi$ y de satisfacciones $\neg\varphi$, lo cual es una contradicción, entonces la fórmula debe ser válido.

Esto es del libro, así que he aplicado lo que está escrito en $2$realidad

Answer 1

Te estás olvidando de usar desde el punto 4 de la parte que dice que la secuencia difiere en la mayoría de las $i$th componente.

Por ejemplo, supongamos que tiene una secuencia $a$ la satisfacción de una fórmula $\psi = \exists x\forall y(\varphi)$. Mendelson sólo utiliza el cuantificador universal, entonces, en realidad, la sobre representación de $\psi$ es sólo azúcar sintáctico para $\neg \forall x(\neg\forall y(\varphi))$.

Para una secuencia $a$ a satisfacer $\psi$, esto significa que, por el punto 2, $a$ no satisface $\forall x(\neg\forall y(\varphi))$.

Para $a$ a no satifsy $\forall x(\neg\forall y(\varphi))$, por el punto 4, significa que hay al menos una secuencia $a'$ diferentes de $a$ en la mayoría de las $i$th componente (en el que $i$ es el índice de la variable $x$) no satisfacer $\neg\forall y(\varphi)$.

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Como para la edición, lo que se puede obtener es en realidad

1. Una secuencia $a'$ diferentes de $a$ en la mayoría de las $i$th posición ($i$ es el índice de $x$) que satisface $\forall y (\varphi)$.
2. Una secuencia $a''$ diferentes de $a$ en la mayoría de las $j$th posición ($j$ es el índice de $y$) que satisface $\forall x(\neg\varphi)$.

para $x$ e $y$ pueden ser diferentes variables.

Para obtener una contradicción a partir de ello se puede usar el punto 4 (a partir de Mendelson) para obtener otra secuencia, decir $a'''$, a diferencia de $a$ en la mayoría de las $i$th y $j$th posición que funcionarán tanto en 1. y 2. por encima de.