¿Cómo resolver esta integralidad/mejor forma de abordaje?

Question

$$\int_{0}^{c} dy \sqrt{\frac{c-1/2y^2+1/3y^3}{1+2y}}$$ donde c es una constante. Esto viene de tratar de encontrar el área $$\int_{U \le c} dq_1dq_2$$ donde $$U=\frac{1}{2}(q_1^2+q_2^2)-\frac{1}{3}q_2^3+q_1^2q_2$$ limitado por la energía $c=U(q_1,q_2)$ .

Answer 1

(No es una respuesta, sólo un comentario demasiado largo).

Puedes demostrar que el valor de la integral es $\frac{c^2}{2\sqrt{6}} + O(c)$ con las siguientes simplificaciones algebraicas. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la integral puede escribirse como $$I = \frac{1}{\sqrt{6}}\int_0^c \sqrt{ (y-1)^2 + \frac{6c-1}{2y+1}} \ dy.$$ De ello se desprende que $$I > \frac{1}{\sqrt{6}} \int_0^c (y-1) \ dy = \frac{c(c-2)}{2\sqrt{6}}.$$ Del mismo modo, utilizando el hecho de que $\sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (que no se mantiene del todo en algunas regiones del dominio pero parece ser insignificante para grandes $c$ ), tenemos $$I < \frac{1}{\sqrt{6}} \int_0^c (y-1) \ dy + \frac{1}{\sqrt{6}}\int_0^c \sqrt{\frac{6c-1}{2y+1}} \ dy = \frac{c^2}{2\sqrt{6}} + O(c).$$ Por lo tanto, podemos concluir que $I = \frac{c^2}{2\sqrt{6}} + O(c).$ Creo que lo que podría ayudarte es lo siguiente:

• Si sólo quieres una respuesta numérica, la función que estás integrando es muy suave y convexa por lo que obtener valores de alta precisión es factible.
• Si quiere una respuesta más precisa, debe especificar qué regiones de $c$ que le interesa. Mi respuesta es válida para $c \rightarrow \infty$ pero sin duda hay respuestas más precisas para otros casos como $c << 1$ .

Answer 2

$$\color{brown}{\textbf{Edition of 02.12.2018}}$$

HINT

La tarea de la cuestión es la tarea sobre el área bajo la figura no convexa.

En particular, para $C=0.135$ el gráfico es

para $C=\frac16$ el gráfico es

y para $C=3.84$ el gráfico es

Estas cifras muestran que la integral propuesta no puede calcular el área correctamente, y que puede ser adecuada para calcular el área en coordenadas polares.

Dejemos que $$q_1=r\cos \varphi, \quad q_2=r \sin\varphi,$$ entonces $$U(r,\varphi) = \dfrac13r^3\sin 3\varphi+\dfrac12r^2.\tag1$$ Teniendo en cuenta las propiedades de la función seno, basta con considerar $U(r,\varphi)$ en el intervalo $$\varphi\in\left(\frac\pi6,\frac\pi2\right).$$ Los límites que determina el sistema de desigualdades \begin {casos} \dfrac13r ^3 \sin 3 \varphi + \dfrac12r ^2 > 0 \\ \dfrac13r ^3 \sin 3 \varphi + \dfrac12r ^2 < C. \tag2 \end {casos} La primera desigualdad tiene la solución $$\begin{cases} r\in(0,\infty),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi6,\dfrac\pi3\right)\\ r\in\left(0,-\dfrac3{2\sin3\varphi}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi3,\dfrac\pi2\right) \end{cases}\tag3$$ Factor $\dfrac4{Cr^3}$ permite presentar la segunda desigualdad en forma de $$\dfrac{4}{r^3} - \dfrac2{Cr} > \dfrac{4\sin3\varphi}{3C},$$ o $$4\left(\dfrac ar\right)^3-3\dfrac{a}r > p,\tag4$$ donde $$a=\sqrt{\dfrac{3C}2},\quad p=2a\sin3\varphi.\tag5$$ $\textbf{If p < 1,}$ entonces se puede utilizar la representación $$\cos\left(3\arccos\left(\dfrac ar\right)\right) > p.$$ Entonces $$\dfrac ar\in \begin{cases} [0,1],\quad\text{if}\quad p\in[-\infty,-1)\\ \left[\cos\left(\dfrac13\arccos p\right),\infty \right]\bigcup\left[0,\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac13\arccos p\right)\right],\quad\text{if}\quad p\in[-1,1] \end{cases}$$ (véase también Wolfram Alpha%20%3E%20p) )

$$r\in \begin{cases} [a,\infty],\text{ if }p\in[-\infty,-1)\\ \left[0,\dfrac a{\cos\left(\dfrac13\arccos p\right)}\right] \bigcup\left[\dfrac a{\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac13\arccos p\right)},\infty\right],\text{ if } p\in[-1,1], \end{cases}\tag6$$ $\textbf{If p > 1,}$ entonces se puede utilizar la representación $$\cosh\left(3\cosh^{-1}\left(\dfrac ar\right)\right) > p,$$ $$r < \dfrac a{\cosh\left(\dfrac13\cosh^{-1}p\right)},$$ donde $$\cosh^{-1}x = \log(x+\sqrt{x^2-1}),$$ $$\cosh\left(\dfrac13\cosh^{-1}x\right)=\dfrac12\left(\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2-1}}+\dfrac1{\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2-1}}}\right).$$ Así que $$r < \dfrac {2a}{\sqrt[3]{p+\sqrt{p^2-1}}+\sqrt[3]{p-\sqrt{p^2-1}}}.\tag7$$ Además, $r\ge0.$ Veamos dos ejemplos.

$$\textbf{Example C=0.135, a=0.45}$$ Los puntos de control son $$p\left(\dfrac\pi6\right)=0.9,\quad p\left(\dfrac\pi3\right)=0,\quad p\left(\dfrac{2\pi}5\right)=-0.593083,\quad p\left(\dfrac\pi2\right)=-0.9,$$ $$r\left(\dfrac\pi6\right)\in(0,0.455304),\quad r\left(\dfrac\pi3\right)\in(0,0.519615),\quad r\left(\dfrac{2\pi}5\right)\in(0,0.519615)\cup(2.43582,2.55195),\quad r\left(\dfrac\pi2\right)\in((0,0.721023)\cup(1.23406,1.5)).$$

Sistema $(2)$ tiene soluciones $$\left[\begin{align} r\in\left(0,\dfrac {0.45}{\cos\left(\dfrac13\arccos (0.9\sin3\varphi)\right)}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi6,\dfrac\pi2\right)\\ r\in\left(\dfrac {0.45}{\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac13\arccos(0.9\sin3\varphi) \right)},-\dfrac3{2\sin3\varphi}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi3,\dfrac\pi2\right) \end{align}\right.\tag8$$ Los resultados obtenidos se corresponden con el primer gráfico.

$$\textbf{Example C=3.84, a=2.4}$$ Los puntos de control son $$p\left(\dfrac\pi6\right)=4.8,\quad p\left(\dfrac\pi3-\dfrac13\arcsin\dfrac5{24}\right)=1,\quad p\left(\dfrac\pi3-\dfrac13\arcsin 0.2\right)=0.96,\quad p\left(\dfrac\pi3\right)=0,\quad p\left(\dfrac\pi3+\dfrac13\arcsin 0.2\right)=-0.96,\quad p\left(\dfrac\pi3+\dfrac13\arcsin\dfrac5{24}\right)=-1,\quad p\left(\dfrac{2\pi}5\right)=-2.82137, \quad p\left(\dfrac\pi2\right)=-4.8,$$ $$r\left(\dfrac\pi6\right)\in(0,1.85345),\quad r\left(\dfrac\pi3-\dfrac13\arcsin\dfrac5{24}\right)=(0,2.4),\quad r\left(\dfrac\pi3-\dfrac13\arcsin0.2\right)=(0,2.41078),\quad r\left(\dfrac\pi3\right)\in(0,2.77128),\quad r\left(\dfrac\pi3+\dfrac13\arcsin0.2\right)=(0,4.14103)\cup(5.76975,7.5),\quad r\left(\dfrac\pi3+\dfrac13\arcsin\dfrac5{24}\right)=(0,7.2),\quad r\left(\dfrac{2\pi}5\right)\in(0,2.55195),\quad r\left(\dfrac\pi2\right)\in(0,1.5).$$

Sistema $(2)$ tiene soluciones $$\begin{cases} r\in\left(0,\dfrac {4.8}{\sqrt[3]{4.8\sin3\varphi+\sqrt{(4.8\sin3\varphi)^2-1}}+\sqrt[3]{4.8\sin3\varphi-\sqrt{(4.8\sin3\varphi)^2-1}}}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi6,\dfrac\pi3-\dfrac13\arcsin\dfrac5{24}\right)\\ r\in\left(0,\dfrac {2.4}{\cos\left(\dfrac13\arccos (4.8\sin3\varphi)\right)}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi3-\dfrac13\arcsin\dfrac5{24},\dfrac\pi3\right)\\ r\in\left(0,\dfrac {2.4}{\cos\left(\dfrac13\arccos (4.8\sin3\varphi)\right)}\right)\bigcup\left(\dfrac {2.4}{\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac13\arccos(4.8\sin3\varphi) \right)},-\dfrac3{2\sin3\varphi}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi3,\dfrac\pi3+\dfrac13\arcsin\dfrac5{24}\right)\\ r\in\left(0,-\dfrac3{2\sin3\varphi}\right),\quad \text{if}\quad \varphi\in\left(\dfrac\pi3+\dfrac13\arcsin\dfrac5{24},\dfrac\pi2\right) \end{cases}\tag9$$ Los resultados obtenidos se corresponden con el tercer gráfico.

$\textbf{Finding the area}$

El área de la figura en coordenadas polares es igual a

$$S=6\cdot\dfrac12\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}r^2(\varphi)\,\mathrm d\varphi.$$

En particular, para $C=0.135$

$$S=6\cdot\dfrac12\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\dfrac {0.45^2}{\cos^2\left(\dfrac13\arccos (0.9\sin3\varphi)\right)}\,\mathrm d\varphi +6\cdot\dfrac12\int\limits_{\pi/3}^{\pi/2}\left(\dfrac{9}{4\sin^2(3\varphi)} - \dfrac {0.45^2}{\cos^2\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac13\arccos (0.9\sin3\varphi)\right)}\right)\,\mathrm d\varphi \approx 0.968088 + 0.968088 = \mathbf{1.937376}$$ (véase también Wolfram Alpha para la primera integral)%20dx) y para el segundo)))%20dx) )

Answer 3

La función Appell-Lauricella está definida por la serie $$F[\{a,c\};\{b_1,b_2,\dots,b_n\};\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}]:=$$ $$=\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n\geq 0}\frac{(a)_{i_1+i_2+\ldots+i_n}(b_1)_{i_1}(b_2)_{i_2}\ldots(b_n)_{i_n}}{(c)_{i_1+i_2+\ldots+i_n}i_1!i_2!\ldots i_n!}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n^{i_n},$$ donde $n\geq2$ , $a,c,b_1,b_2,\ldots,b_n\in\textbf{C}$ y $|x_1|<1,|x_2|<1,\ldots,|x_n|<1$ .

Entonces tiene lo siguiente

TEOREMA. Para $Re(c)>Re(a)>0$ y $|x_1|<1,|x_2|<1,\ldots,|x_n|<1$ tenemos $$F[\{a,c\};\{b_1,b_2,\dots,b_n\};\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}]=$$ $$=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int^{1}_{0}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_1t)^{-b_1}(1-x_2t)^{-b_2}\ldots (1-x_nt)^{-b_n}dt.$$

Utilizando el teorema anterior demostraré que

$$\int^{c}_{0}\sqrt{\frac{c-y^2/2+y^3/3}{1+2y}}dy= \frac{c\sqrt{4-l}}{2\sqrt{6}}|l-1|\times$$ $$\times F\left[\{1,2\};\{\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\};\{-2c,\frac{2c}{l-1},\frac{4c}{4-l-\sqrt{3}\sqrt{(4-l)l}},\frac{4c}{4-l+\sqrt{3}\sqrt{(4-l)l}}\}\right],$$ donde $c=\frac{1}{24}(4-9l+6l^2-l^3)$ .

Para probar la evaluación anterior haz el cambio de variable $y\rightarrow -y$ para conseguir $$\int^{c}_{0}\sqrt{\frac{c-y^2/2+y^3/3}{2y+1}}dy=i\int^{-c}_{0}\sqrt{\frac{y^2/2+y^3/3-c}{-2y+1}}dy,$$ entonces $y\rightarrow \frac{1-w}{2}$ para conseguir $$i\int^{-c}_{0}\sqrt{\frac{y^2/2+y^3/3-c}{-2y+1}}dy=\frac{\sqrt{c}}{4\sqrt{6}}\int^{2c+1}_{1}\sqrt{\frac{24+1/c(w-4)(w-1)^2}{w}}dw.$$ Ahora bien, si $c=\frac{1}{24}(4-9l+6l^2-l^3)$ podemos escribir $$24+(-4+w)(-1+w)^2/c=\frac{24(l-w)(9-6l+l^2-6w+lw+w^2)}{(l-4)(l-1)^2}.$$ De ahí que podamos escribir la última integral en forma de teorema y utilizarla para obtener el resultado, que es la función Appell-Lauricella.