Varios rectángulos cubren la Plaza de la unidad. ¿Puedo encontrar un conjunto desunido de ellos cuya área sea por lo menos $1/4$?

Question

Estoy interesado en la siguiente pregunta:

Vamos a una secuencia finita de rectángulos en $\mathbb{R}^2$ recibir tal que

1. Los bordes de los rectángulos son paralelos a los ejes de coordenadas, y

2. Los rectángulos de la cubierta de la unidad de la plaza, $[0,1]^2$.

Es posible encontrar, entre estos rectángulos, una colección de condiciones mutuamente disjuntas rectángulos cuya superficie total es de al menos $1/4$?

Todavía no estoy seguro de si existe una solución. Mi amigo y yo hemos pasado un tiempo pensando acerca de esto y han llegado muy lejos.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La cuestión vinculada por @AlonAmit en los comentarios responde exactamente a esta pregunta, y muestra que la respuesta (al menos con la constante $1/4$) es no. Para una demostración concreta, empezar con un $6\times 6$ plaza divide en treinta y sextos: $$\begin{matrix} 0&1&2&3&4&5\\ 6&7&8&9&a&b\\ c&d&e&f&g&h\\ i&j&k&l&m&n\\ o&p&q&r&s&t\\ u&v&w&x&y&z \end{de la matriz}$$ Ahora cubrir cada rincón de $2\times2$ por cuatro individuales $(1+\varepsilon)\times (1+\varepsilon)$ rectángulos, de tal manera que los cuatro rectángulos en la parte superior izquierda ($0,1,6,7$) son mutuamente superpuestas, como son aquellos en los que cada uno de los otros ángulos. Y cubrir el resto de la forma en el centro (una cruz) por ocho individuales de $(3+\varepsilon)\times(1+\varepsilon)$ rectángulos ($28e$, $39f$, $cde$, $ijk$, $kqw$, $lrx$, $fgh$, e $lmn$), de tal manera que todos los ocho incluyen el centro de la plaza. Cualquier discontinuo conjunto de estos rectángulos incluye en la mayoría de las cuatro de la $(1+\varepsilon)\times(1+\varepsilon)$ rectángulos y en la mayoría de los una de las $(3+\varepsilon)\times(1+\varepsilon)$ rectángulos, y así ha de área total de poco más de $7/36\approx 19.4\%$ de la totalidad de la plaza.