Dejemos que $f$ sea una función con el PIV y para un fijo $y$ dejar $M$ sea $\{x\in\mathbb R\mid f(x)=y\}$ . Si $M$ es no vacía y está acotada, entonces $\sup M\in M$ .

Question

Dejemos que $f$ sea una función que tenga la propiedad de valor intermedio (no es necesariamente continua) y $y \in \mathbb{R}$ está arreglado. Se da que $$M=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=y \}$$ está acotado por encima y no está vacío. Demostrar que $\sup M \in M$ .

Intenté demostrarlo por medio de una contradicción. Sea $\alpha = \sup M $ y supongamos $\alpha \not \in M$ es decir $f(\alpha)\neq y$ y que $\lambda$ estar entre $f(\alpha)$ y $y$ . Entonces tomé $(x_n) \subset M$ tal que $x_n \to \alpha$ . Por la propiedad del valor intermedio, ya que $f(x_n)=y$ Debe haber algún tipo de $c_n \in (x_n,\alpha)$ tal que $f(c_n)=\lambda$ . Sin embargo, no veo cómo obtener la contradicción a partir de este punto.

Answer 1

La afirmación es falsa. Tomemos, por ejemplo $$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&x&\mapsto&\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&\text{ if }x<0\\1&\text{otherwise.}\end{cases}\end{array}$$ Entonces $f$ satisface la propiedad del valor intermedio, $$\sup\left\{x\in\mathbb{R}\,\middle|\,f(x)=0\right\}=0,$$ pero $f(0)=1\neq0$ .