¿El conjunto de puntos para los cuales$\lim f_n$ existe todavía es mensurable?

Question

Supongamos $(X,\mathscr A)$ es un espacio medible, $Y$ es polaca y $f_n:X\to Y$ es una secuencia de funciones medibles. Entonces el conjunto $L\subseteq X$ que $\lim f_n$ existe es medible. La prueba se basa en el hecho de que $L$ es sólo el conjunto de $x\in X$ que $(f_n(x))_n$ es de Cauchy en $Y$. Por supuesto, esto sólo funciona porque $Y$ es completa. Por otra parte, es claro que la divisibilidad es necesario, para asegurarse de que $\mathscr B(Y\times Y)=\mathscr B(Y)\times \mathscr B(Y).$ Ahora me estoy preguntando ¿qué sucede si eliminamos la condición de integridad de $Y?$ Obviamente los anteriormente mencionados prueba no funcionará. De hecho, creo que la integridad es necesaria, y estoy en busca de un contraejemplo. es decir; una secuencia de medibles $f_n$ tal que $L=\left \{ x:\lim f_n(x)\ \text {exists} \right \}$ no es mensurable.

Answer 1

Sea$X$ un espacio medible,$S\subset X$ un subconjunto no medible. Deje$Y=X\times\mathbb{R}-S\times\{0\}$ y defina$f_n(x)=(x,n^{-1})$. Entonces $$ \ {x: \ lim_n \, f_n (x) \ text {existe} \} = X- S $$ no es medible.