Identidad de la función Zeta, justificación formal

Question

Se tiene la siguiente identidad: (donde $\mu$ es función de Möbius) $$\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^s} \quad (\sigma > 1, s = \sigma+it )$$

La prueba de que he leído (Titchmarsh p5) está dada por la siguiente línea:

$$\frac{\zeta (s) }{ \zeta(2s) } \stackrel{*}{=} \prod_p \frac{1-p^{-2s}}{1-p^{-s}} = \prod_p \big( 1 + \frac{1}{p^s} \big) \stackrel{**}{=} \sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n^s}$$

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Mi pregunta es ¿cómo podemos justificar $*$ $**$ rigurosamente? A continuación es lo que yo pienso:

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$(*):$ Tomamos nota de que los productos parciales, $\hat{f_n} = f_1 \cdots f_n$ donde $f_i = \big( 1 - \frac{1}{p_i^s} \big)^{-1}$ converge de forma compacta en la región $\sigma >1$. $\zeta(s) = \lim_{n \rightarrow \infty} \hat{f}_n(s)$ (por Euler fórmula de Producto). Del mismo modo, $\zeta(2s) = \lim_{n \rightarrow \infty} \hat{g}_n(s)$ donde $\hat{g}_n = \hat{f}_n (2s)$. Tomamos nota de que $|\zeta(s)| > 0$ todos los $\sigma >1 $.

$\frac{1}{\zeta(2s)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\hat{g}_n(s)}$ está bien definido, y así lo básico de álgebra de límites, $$\frac{\zeta(s) }{ \zeta(2s)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\hat{f}_n(s)} { \hat{g}_n(s) } $$

$(**):$ Aquí se argumenta por tomar un primer $P$, y tenemos,

$$ \Big| \sum \frac{|\mu(n)| }{n^s} - \prod_{p \le P} (1+ \frac{1}{p^s} ) \Big| \le \sum \frac{1}{(P+n)^s} \rightarrow 0 $$ como $P \rightarrow \infty$.

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En general, cuando sabemos que sólo podemos ampliar infinito productos como este?

Por ejemplo, también tenemos la identidad:

$$ \frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)} = \sum \frac{2^{v(n)}}{n^s} $$ la prueba, a continuación, utiliza infinito producto de infinitos sumandos:

$$ \frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)} = \prod_p (1 + 2p^{-s} + 2p^{-2s} + \cdots ) = \sum \frac{2^{v(s)}}{n} $$

¿Cómo sabemos que las dos últimas igualdades coinciden?

Answer 1

Para la primera igualdad de $(*)$ tenemos el producto de Euler representación de la función zeta \begin{eqnarray*} \zeta(s)= \prod_{p \in \mathbb{P}} (1-p^{-s})^{-1}. \end{eqnarray*} Desde su último comentario que parecen felices ya que \begin{eqnarray*} \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}= \prod_{p \in \mathbb{P}} (1+\frac{1}{p^{s}}). \end{eqnarray*} Ahora considere las condiciones creadas por la expansión de este producto \begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{2^{s}}\right)\left(1+\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1+\frac{1}{5^{s}}\right) \cdots &=& 1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}} \cdots \\ &=& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} \end{eqnarray*} donde $\chi(n)=1$ si $n$ es el producto de los distintos números primos (en otras palabras, $n$ es cuadrado-libre) y $\chi(n)=0$ lo contrario. Es fácil ver que $\chi$ es esencialmente el Mobuis $\mu$ función sin los poderes de $-1$ a contar de la paridad en el número de los distintos números primos.

Answer 2

Este es mi intento de responder a mi pregunta de rigor, por favor, dime si es inapropiado hacerlo ( yo no quiero publicar editar el OP como sería demasiado largo).

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Definiciones: Un infinito producto $\prod a_n$ es convergente si existe un índice $m$ tal que $p_{m,n} = a_m \cdots a_n $ converge a un límite de $\hat{p}_m \not=0 $$n \rightarrow \infty$. Definimos $\prod a_n := a_0 \ldots a_{m-1} \hat{p}_m$.

Un infinito producto $\prod b_n$ donde $b_n:= 1+ a_n$, es decir para ser un absolutamente convergente infinito producto si $\prod ( 1 + |a_n| )$ converge.

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Observación: Supongamos $\prod a_n$ es conergent. Tenemos $\hat{p}_m $ existe para todas las $m\in \mathbb{N}$, por definición. También, $\lim \hat{p}_m = \frac{\prod a_n}{p_{0,m-1}} \rightarrow 1 $ $m \rightarrow \infty$ (wlog, el producto no es igual a $0$). Más $\lim p_m = \lim \hat{p}_m/ \hat{p}_{m+1} \rightarrow 1 $$m \rightarrow \infty$.

Proposición 1: $\prod b_n $, $b_n:= 1 + a_n$, converge iff $\sum_{n \ge m} \log (1+a_n) $ converge para algunos $m \in \mathbb{N}$.

Prueba: Supongamos $\prod b_n$ converge. A partir de la observación $b_n:= 1 + a_n \rightarrow 1$$n \rightarrow \infty$$\lim \hat{p}_n \rightarrow 1$$n \rightarrow \infty$. Por la continuidad, y observando que el argumento radica en $\mathbb{C}_{-}$, tenemos una bien definida por la ecuación: $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \log p_{m,n } = \log \hat{p}_n \Rightarrow \sum_{n \ge m} \log (1+a_n) \text{ converges to some } \alpha $$ Por el contrario, mediante la adopción de $e$ a la potencia de este resultado, los rendimientos convergene de $\prod b_n$.

Proposición 2: $\prod b_n$, $b_n:=1 + a_n$ converge absolutamente iff $\sum |a_n| $ converge.

Prueba: Supongamos $\prod b_n$ converge absolutamente, a continuación, $\prod (1 + |a_n|) $ converge. Por lo tanto $\sum \log ( 1 + |a_n| ) $ converge. Ahora se nota la desigualdad, $$ \frac{1}{2} |x| \le | \log (1+ x ) | \le 2 |x| $$ para $|x| \le \frac{1}{2}$. Mediante la aplicación de la primera proposición, se deduce el resultado. Como corolario si $\prod b_n$ converge absolutamente, a continuación, $\sum |a_n| $ converge, $\sum \log (1+ a_n) $ converge absolutamente, y $\prod b_n$ converge.

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Ejemplo: En el caso de la prueba de identidad $$ \frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{v(n)}}{n^s}, \, ( \sigma > 1 )$$ tenemos el infinito producto, $$ \prod _p (1 + a_p) = \prod_p ( 1 + 2p^{-s} + 2 p^{-2s} + \cdots ) $$ Donde $a_p = 2( \sum_{n =1 }^\infty p^{-ns} ) $. Ahora, para algunas constantes $C \in \mathbb{R}_{>0}$ $$\sum_p |a_p| \le \sum_p ( \sum_n \frac{1}{p^{ n \sigma}} ) \le C \sum_p \frac{1}{p^\sigma} < \infty $$ Por lo tanto, el infinito producto converge, y podemos aplicar el término por término de la multiplicación, es decir, $$ \prod_{p \le P } (1 + a_p) \rightarrow \prod_p (1 + a_p) $$ como $P \rightarrow \infty$.

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Referencias: Zanja, W. (1999). Convergencia condicional de Infinito Productos. La American Mathematical Monthly, 106(7), p.646.