En un papel, Asaf Karagila escribe:
Definición 1 (El Axioma de Elección). Si $\{A_i \mid i ∈ I\}$ es un conjunto no-vacío conjuntos, entonces existe una función de $f$ dominio $I$ tal que $f(i) ∈ A_i$ para todos los $i ∈ I$.
Hace formalmente este sentido? No debería decir
Si $(A_i)_{i\in I}$ ser una familia no vacía de conjuntos ...
?
Porque si tenemos un conjunto $M$ de los no-vacía de conjuntos puede ser que no exista único de la familia $(A_i)_{i\in I}$$\{A_i\mid i\in I\}= M$.
Tiene sentido sujetos a una generosa interpretación del papel de la indexación de establecer $I$ de la indización y de la función $i \mapsto A_i$. Sería mucho mejor que los de estilo (en mi opinión) , ya sea para escribir como usted sugiere, declarando expresamente que la función de indización $i \mapsto A_i$ es parte de los datos o escribir sin mencionar la indexación de conjunto en todo: "si $U$ es un conjunto no-vacío conjuntos, entonces existe una función de $f$ dominio $U$ tal que $f(A) \in A$ por cada $A \in U$". Las dos declaraciones son equivalentes (ya que cualquier función de indización $i \mapsto A_i$ del conjunto de $U$ factores a través de la identidad de la función en $U$, lo que se puede considerar como una especie de "minimalista" de la indexación de la función).
[Aparte: creo que no hay ningún acuerdo general de que "la familia" significa indexado de la familia. De hecho, algunos autores afirman explícitamente que usan términos como "conjunto", "familia" y "colección" como sinónimos. Así que sería mejor decir "índice" o "índice de la familia".]
Hay varias formas comunes de expresar el axioma de elección en la teoría de conjuntos:
Si $M$ es un conjunto de conjuntos no vacíos, hay una función de $f$ tal que $f(x) \in x$ por cada $x \in M$.
Si $g$ es una función de y $I$ es un conjunto tal que $g(i)$ es no vacío para cada una de las $i \in I$, hay una función de $h$ tal que $h(i) \in g(i)$ por cada $i \in I$.
El último podría ser visto como una definición en términos de indexado familias; podríamos ver el $g(I)$ como una familia indizada $\{ G_i : i \in I\}$ donde $G_i = g(i)$. La primera es algo más fácil de estado, y la variante es aún más fácil porque no nos obligan a definir una "función".
También es, al menos, algo común en la teoría de conjuntos para buscar en cada juego como un índice por sí mismo, cuando queremos tratar un conjunto, como un conjunto indizado. Así que tenemos $A = \{ A_a : a \in A\}$ donde$A_a = a$$a \in A$. (Decir que cinco veces rápido...)
La definición vinculado en la pregunta podría ser reformulado formalmente en términos de cualquiera de las definiciones que he mencionado. Este es generalmente visto como la rutina, particularmente debido a todas las variantes son equivalentes entre sí a través de la teoría de conjuntos ZF, por lo que en la práctica no hacer demasiada diferencia formal de la frase que usted toma para representar el axioma de elección. (De hecho, Kunen del clásico libro de texto expresa el axioma de elección como "todo conjunto puede ser bien ordenado", el cual es bien conocido por ser equivalente a más de ZF.)
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