La integral $\int_0^1 (-x^2+x)^{k}\cdot \lfloor kx \rfloor \, dx$ (BMT 2017)

Question

Encuentra la integral $$\int_0^1 (-x^2+x)^{k}\cdot \lfloor kx \rfloor \, dx$$ donde $k = 2017.$

Mi intento: Al dividir la integral y luego usar las propiedades del suelo, pude transformar la integral en $$\sum_{n=0}^{k-1} n\int_{n/k}^{(n+1)/k} (-x^2+x)^k\,dx$$

Sin embargo, no he podido encontrar una representación mejor para la suma. Me di cuenta de que el integrando era bastante similar a una función Beta; sin embargo, los límites son erróneos y creo que no se puede aplicar la función beta.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Esto es $$I=\int_0^1 x^k(1-x)^k\lfloor kx\rfloor\,dx.$$ Esto sólo pide la sustitución $y=1-x$ : $$I=\int_0^1 (1-y)^ky^k\lfloor k(1-y)\rfloor\,dy$$ para que $$2I=\int_0^1 x^k(1-x)^k\left( \lfloor kx\rfloor+\lfloor k(1-x)\rfloor\right)\,dx.$$ Me pregunto si la expresión entre paréntesis puede simplificarse.