Hay un isomorfismo de $[0,1]$ $[0,1]^2$

Question

¿Hay cualquier tal isomorfismo? ¿O entre cualquier intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ y cerrado simplemente conectado subconjunto de $\mathbb{R}^2$? Si es así, ¿cómo se expresa y hace cualquier estructura?

(Disclaimer: yo no soy un matemático de disciplina así que espero que mi pregunta es realmente significativa!)

Answer 1

Un "isomorfismo" entre los matemáticos "estructuras" $A$ $B$ es un bijective mapa de $\phi$ entre los dos conjuntos subyacentes, para empezar. Si estas estructuras son de una expresión algebraica de la naturaleza que, por ejemplo, requieren que el $\phi(x)+\phi(y)=\phi(z)$ siempre $x+y=z$. Si $A$ $B$ son de métrica espacios con las funciones de la distancia $d_A$$d_B$, entonces uno podría exigir que $d_B\bigl(\phi(x),\phi(y)\bigr)=d_A(x,y)$ para todos los $x$, $y\in A$, etc.

Ahora usted está preguntando acerca de la $A=[0,1]$$B=[0,1]^2$. De hecho, es posible definir un bijective mapa entre estos dos conjuntos, como se describe en otras respuestas. Pero estos sistemas tienen una estructura adicional, por ejemplo, son espacios topológicos. Intuitivamente es obvio que como espacios topológicos no son isomorfos, pero una prueba real es difícil, ya que se trataría de una "imposibilidad de la prueba" (tenga en cuenta que le tomó a la humanidad de 2000 años para demostrar que no se puede trisect un ángulo con regla y compás). Uno tiene que encontrar un cierto topológico de la propiedad que $A$ (por ejemplo, es "unidimensional", lo que significa), que $B$ no tiene.

O. k., aquí es una prueba, pero utiliza diversos conceptos cuya validez tendría que ser establecido de antemano: Considerar el punto de $M:={1\over2}\in A$. Cualquier camino continuo en $A$ conectar $P:={1\over4}$ $Q:={3\over4}$ debe pasar a través de $M$ – este es el intermedio teorema de cálculo. Pero, dado cualquier punto de $M\in B$, y cualquiera de los dos puntos $P$, $Q\in B$ usted puede encontrar un camino continuo en $B$ conectar $P$ $Q$ sin pasar a través de $M$. Esto demuestra que $A$ $B$ no son topológicamente equivalentes.

Answer 2

Si estamos hablando de topología, entonces, cuando usted "saque" el punto $\frac{1}{2}$ $[0,1]$, entonces ya no está conectado. Pero cuando "quitar" el punto "correspondiente" de $[0,1]^2$, sigue conectado.

Es decir, dejar que $a = f(1/2)$, donde $f$ es el "isomorfismo", entonces, la restricción de $f$ $[0,1] \setminus \left{\frac{1}{2}\right}$ debe ser un "isomorfismo" a su imagen $[0,1]^2 \setminus \left{f\left(\frac{1}{2}\right)\right}$. Pero esto no puede suceder, ya que uno se desconecta mientras el otro no lo es.

Answer 3

Supongo que usted está buscando en $[0,1]$ $[0,1]^2=[0,1]\times[0,1]$ como subconjuntos de a $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ con sus topologías estándar como métrica de los espacios. Yo también supongo que por "isomorfismo", te refieres a un bi-función continua entre ellos.

Mi respuesta a una pregunta acerca de cardinalidades da un par de inyecciones de entre $[0,1)$ $[0,1)\times[0,1)$ y, a continuación, cita el Cantor-Bernstein-Schroeder Teorema para obtener un bijection entre el$[0,1)$$[0,1)\times[0,1)$. Romper el "finito cuando sea posible" a la dominación y la escritura $1$ $$ \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} $$ tenemos un bijection entre el$[0,1]$$[0,1]\times[0,1]$. Sin embargo, este mapa puede ser bi-continuo, de modo que no es un isomorfismo.

Supongamos que tenemos un bicontinuous mapa de $f:[0,1]\leftrightarrow[0,1]\times[0,1]$. Desde $f^{-1}$ es continua, mapas conectado a los conjuntos de conjuntos conectados. Deje $f\left(\frac{1}{2}\right)=x\in[0,1]\times[0,1]$. Desde $f$ es un bijection, $f^{-1}([0,1]\times[0,1]\setminus \{x\})=[0,1]\setminus\{\frac{1}{2}\}$. Sin embargo, $[0,1]\times[0,1]\setminus \{x\}$ está conectado, sino $[0,1]\setminus\{\frac{1}{2}\}$ no lo es.

Answer 4

Como Qiauchu Yuan dijo anteriormente, depende del nivel de la estructura que deseas en tu mapa para preservar. Si sólo quieres preguntar "¿hay un mapa en el que se lleva los puntos a los puntos y es uno-a-uno y a?", entonces la respuesta es sí. Esto es lo mismo que decir que tienen la misma cardinalidad como conjuntos, y una de esas mapa tome el punto de $0.d_1 d_2 d_3 d_4 \ldots$ hasta el punto de $(0. d_1 d_3 \ldots , 0.d_2 d_4 \ldots)$. Si quieres preguntar, "¿hay un mapa que lleva abierto conjuntos para abrir sets (bajo el estándar intervalo de topologías) y es uno-a-uno y a?", la respuesta es no.