¿Por qué las representaciones de Galois se adjuntan a las eigenformas de peso uno de Serre-Deligne complejo representaciones?
En peso $k \geq 2$ las representaciones de Galois construidas por Eichler-Shimura y Deligne son todas $ \ell $ -representaciones adictivas.
El peso de un caso parece mantenerse por sí solo. ¿Hay un a priori razón por la cual uno debe esperar esta diferencia entre $k=1$ y $k \geq 2$ ? ¿Qué tiene de especial el peso que uno forma?
En cada caso (peso $1$ o el peso $k \geq 2$ ), hay un campo numérico $E$ (el campo numérico generado por los valores propios primos del nivel Hecke de $f$ ) y una familia compatible de $ \lambda $ -representantes adictos. $ \rho_ { \lambda }$ adjunto a $f$ donde compatible significa que si $p$ no divide el nivel, y es primordial para $ \lambda $ , entonces $ \rho_ { \lambda }$ es unram. en $p$ y su rastro en $Frob_p$ es igual al $p$ El valor propio de Hecke (un elemento de $E$ que no depende en $ \lambda $ ).
En el caso de que $k = 1$ uno tiene el hecho adicional de que todos los $ \rho_ { \lambda }$ en realidad tienen una imagen finita, por lo que (usando Cebotarev) se definen sobre $E$ (no sólo $E_{ \lambda }$ ), y por lo tanto (por la compatibilidad) realmente coinciden.
Al incrustar $E$ en $ \mathbb C$ Por supuesto, también se puede pensar en ellos como repeticiones complejas. (O, si lo prefieres, en este caso no hay necesidad de recordar que los valores propios de Hecke se encuentran todos en un campo numérico común $E$ puedes pensar en ellos como números complejos. Pero este punto de vista oscurece la unidad entre los $k =1$ y $k \geq 2$ situaciones.)
¿Por qué hay esta diferencia de comportamiento?
Bueno, estas representaciones se construyen a partir de la cohomología etale de algún motivo (los diferentes $ \lambda $ que provienen de las diferentes opciones de $ \ell $ en el la construcción de $ \ell $ -cómodo ádico.).
Por ejemplo, en el caso $k = 2$ vienen de los módulos Tate (o duales de módulos Tate), si quieres pensar cohomológicamente en vez de homologar las variedades abelianas.
En general, esta cohomología está en dimensión $k - 1$ .
Si $k \geq 2$ Entonces $k - 1 \geq 1,$ y no hay una "cohomología etale con $ \mathbb Q$ coeficientes" que subyacen a los diferentes $ \ell $ -congregaciones étnicas adictivas. Allí son las relaciones entre los diferentes $ \ell $ -cohomologias adictivas, y de aquí viene la compatibilidad. Pero las diferentes $ \lambda $ -Los representantes adictos no son en ningún sentido lo mismo; sólo están relacionados a través de la compatibilidad.
Pero cuando $k = 1,$ tenemos $k - 1 = 0$ y nosotros puede definir etale $H^0$ con $ \mathbb Q$ -Coffs. de una variedad: es sólo el $ \mathbb Q$ -v.s. generado por el conjunto de componentes conectados geométricamente (o tal vez el dual, si quieres el cohom. en lugar de la homología). Este conjunto de componentes es finito, y por lo tanto los factores de acción de Galois a través de un cociente finito. Así que precisamente en este caso podemos encontrar una representación común (imagen finita) que subyace a las diferentes $ \lambda $ -representantes adictos.
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