Demuestra que $\frac{1}{x^2}$ es uniformemente continua en $[1,\infty)$ pero no en $(0,1)$.

Question

Demuestra que $\frac{1}{x^2}$ es uniformemente continua en $[1,\infty)$ pero no en $(0,1)$.

Prueba

En $[1,\infty)$:

$$\left|f(x) - f(y)\right| = \left| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right| = \frac{(x+y)\left|x -y\right|}{x^2y^2} = \left(\frac{1}{xy^2} + \frac{1}{x^2y}\right)\left|x-y\right|\leq 2 \left|x-y\right| $$

Por lo tanto, $f$ es una función Lipschitz en $[1,\infty)$, lo que implica uniformidad de continuidad.

En $(0,1)$::

Elija $\epsilon_0 = 1$ y considere las secuencias definidas por $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ y $y_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. Vemos que $\lim(x_n - y_n) = 0$ pero

$$\left|f(x_n) - f(y_n)\right| = \left|n - (n+1)\right| = 1$$

por lo tanto, $f$ no es uniformemente continua en $(0,1)$.

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Por favor comente sobre la validez, legibilidad y/o estilo. Gracias.

Answer 1

La única crítica que tendría es que el uso de secuencias parece complicar las cosas más de lo necesario.

Para $0

• $0
• $|x-y| \to 0$ cuando $x\to0$ y
• $|f(x)-f(y)|=1.$

Eso es esencialmente lo mismo que hiciste pero sin secuencias; es decir, si $x=\text{tu }x_n$ entonces $y$ definido aquí coincide con tu $y_n$.