Definimos una secuencia de números racionales {$a_n$} colocando$a_1=3$ y$a_{n+1}=4-\frac{2}{a_n}$ para todos los números naturales. Poner $\alpha = 2 + \sqrt{2}$

Question

Definimos una secuencia de números racionales {$a_n$} colocando$a_1=3$ y$a_{n+1}=4-\frac{2}{a_n}$ para todos$n \in \mathbb N$. Poner $\alpha = 2 + \sqrt{2}$

(a) Demuestre por inducción en n, que$3 \le a_n \lt 4$ para todos$n \in \mathbb N$.

(b) Muestre que$3\lt \alpha \lt 4$ y$\alpha=4-\frac{2}{\alpha}$

(c) Muestre que$a_{n+1}-\alpha=\frac{2(a_n-\alpha)}{\alpha a_n}$ para todos$n \in \mathbb N$.

(d) Demostrar, por inducción en n, que |$a_n-\alpha$ |$\le\frac{|a_1-\alpha|}{4^{n-1}}$ para todos$n \in \mathbb N$.

(e) Deduzca ese$a_n \rightarrow \alpha$ como$n \rightarrow \infty$

$a_2=3.33333$

$a_3=3.4$

$a_4=3.411764706$

$a_5=3.413793103$

$a_6=3.1414141414$

$\alpha=3.1414213562$

Answer 1

Ciertamente,$a_1 \le 3 \lt 4$, ya que el $a_1=3$.

Supongamos que para el entero concreto $k$, sabemos que $3\le a_k \lt 4$.

Queremos demostrar que las similares de las desigualdades a cabo para el "siguiente" plazo $a_{k+1}$. Es decir, queremos mostrar que $3\le a_{k+1}\lt 4$.

Hay dos desigualdades de probar. Hablemos con ellos por separado. Primero debemos demostrar que (i) $3\le a_{k+1}$ y, a continuación, que (ii) $a_{k+1}\lt 4$.

(i) tenga en cuenta que $a_{k+1}=4-\frac{2}{a_k}$. Sabemos que $a_k \ge 3$. Por lo $\frac{2}{a_k}\le \frac{2}{3}$. De ello se desprende que $4-\frac{2}{a_k} \ge 4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3} \ge 3$.

(ii) Debido a que $a_k$ es positivo, $4-\frac{2}{a_k}\lt 4$.

Así hemos demostrado que nuestro desigualdades mantenga en $n=1$, y que si tienen para algún entero $k$, se mantienen para el próximo entero $k+1$. Por el principio de inducción matemática, la desigualdad de $3\le a_n \lt 4$ es válido para cada entero positivo $n$.

Agregó: Desde la respuesta anterior fue escrito, la cuestión se ha quintuplicado en longitud. Espero que el anterior por lo menos ayudar con la mecánica de la inducción. Hacemos un par de comentarios sobre el agregado de partes.

El agregado a la pregunta (b) es, sin duda, algo que se puede controlar. Mostrando que $3\lt \alpha \lt 4$ se puede hacer mediante la observación de que $1\lt \sqrt{2}\lt 2$. Para mostrar que $\alpha=4-\frac{2}{\alpha}$, tenga en cuenta que $\frac{2}{\alpha}=\frac{2}{2+\sqrt{2}}$. Multiplique la parte superior e inferior por $2-\sqrt{2}$, y todo se derrumbará. Alternativamente, queremos mostrar que $\alpha^2=4\alpha -2$. Resolver la ecuación cuadrática $x^2-4x+2=0$ usando la Fórmula Cuadrática. Usted encontrará que las raíces se $2\pm\sqrt{2}$.

Para (c), lo natural es tomar el lado izquierdo $a_{n+1}-\alpha$, y reemplace $a_{n+1}$ por su valor en términos de $a_n$. También, podemos usar el resultado de (b) como una sugerencia, y reemplace$\alpha$$4-\frac{2}{\alpha}$. Tenemos $$a_{n+1}-\alpha=\left(4-\frac{2}{a_n}\right)-\left(4-\frac{2}{\alpha}\right).$$ Hay algunas buenas cancelación: la expresión de La derecha se simplifica a $-\frac{2}{a_n}+\frac{2}{\alpha}$. Traer a un común denominador y obtenemos $$a_{n+1}-\alpha=\frac{2(a_n-\alpha)}{a_n \alpha}.$$

Ahora usted será capaz de mostrar (d). De la fórmula anterior nos da información acerca de cómo cerca de $a_{n+1}$ $\alpha$ en términos de cómo cerca de $a_n$$\alpha$. Utilice el hecho de que desde $a_n \gt 3$$\alpha\gt 3$,$\frac{2}{a_n \alpha}\lt \frac{2}{9}\lt \frac{1}{4}$.

Answer 2

Sugerencia: Observe que $(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)=2$, es decir,$\frac{2}{2+\sqrt2}=2-\sqrt2$.

¿Qué se puede decir acerca de la $a_{n+1}$ si $a_n\le 2+\sqrt2$? ¿Y el caso de $a_n\ge2+\sqrt2$?

EDIT: lo anterior fue escrito como respuesta a la versión original de la pregunta.

Si desea mostrar también que $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\alpha$, una estrategia viable parece ser:

• Mostrando que $f(x)=4-\frac2x$ es una asignación de contracción en el intervalo de $[3,4]$.
• Por Banach de punto fijo teorema existe un límite de iteraciones y se debe cumplir la ecuación de $f(x)=4-\frac2x=x$.

Otra posibilidad podría ser la de jugar con las secuencias de pares y los impares términos de esta secuencia.

EDIT 2: La pregunta fue editado de nuevo, así que voy a añadir dos más consejos:

(c) $a_{n+1}-\alpha=4-\frac2{a_n}-\alpha=\frac{(4-\alpha)a_n-2}{a_n}$
¿Qué se obtiene de esto si usted utiliza $4-\alpha=\frac2\alpha$?

(d) Usted tiene $|a_{n+1}-\alpha|=\frac{2}{\alpha a_n}|a_n-\alpha|$.
De las partes anteriores ha $\frac2{\alpha a_n}\le\frac2{3^2}=\frac29<\frac14$.