¿Cada primo es el promedio de otros dos primos?

Question

$ \forall {p_1 \in\mathbb {P}, p_1>3},\ \exists {p_2 \in\mathbb {P},\ p_3 \in\mathbb {P}};\ (p_1 \neq p_2) \land (p_1 \neq p_3) \land (p_1 = \frac {p_2+p_3}{2})$

No estoy 100% seguro de esto, pero recuerdo vagamente haber probado esto una vez, pero no puedo recordar cómo lo hice ahora.

Es también una versión más débil de la conjetura de Goldbach, donde ahora esos números pares que un doble de un primo son la suma de dos primos, con la condición añadida de que los primos sumados son diferentes.

Así que estoy preguntando si alguien puede proporcionar/enlazar una prueba de esto? Porque he estado buscando en Wikipedia y Google pero no puedo encontrar esta declaración en ningún sitio.

Answer 1

Esta conjetura es muy similar a La conjetura de Goldbach es decir, que cada número par es la suma de dos números primos. Aquí está afirmando que en el caso particular que ese número par es el doble de un número primo $p>3$ hay por lo menos una segunda forma de escribirlo así que (la primera es $p+p$ ). La conjetura de Goldbach se ha resistido hasta ahora (durante mucho tiempo) a los intentos de probarlo, incluso con medios sofisticados de teoría de números; mi suposición es que la conjetura que afirma una segunda expresión para los números de la forma $2p$ no es sustancialmente más fácil de resolver que la conjetura de Goldbach (a menos que resulte ser falsa).

Lo que puede decirse con más precisión es que si la conjetura de Goldbach y esta conjetura es cierta, así como la versión algo más fuerte de la conjetura de Goldbach"

Cada número par $n>6$ es la suma de dos distinto primos.

Por supuesto que son dos grandes "si".

Answer 2

Si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces la conjetura de OP es cierta por ratificación.
Hay una serie de problemas del mismo tipo, la conjetura de Goldbach si uno de ellos.

La conjetura de Goldbach es equivalente a este problema:

Deje que $A = \{n:n \neq 2xy+x+y ,\ x,y \in \mathbb {N},\ 1 \le x \le y \}$ ,
Entonces el conjunto de sumas por pares de elementos del conjunto A es el conjunto de números enteros mayores que 1.

Uno de los otros problemas de la misma serie:

Deje que $A = \{n:n \neq 3x^2+(6y−3)x−y,\ n \neq x^2+(6y−3)x+(y−1) ,\ x,y \in \mathbb {N},\ 1 \le x \le y \}$ ,
Entonces el conjunto de sumas por pares de elementos del conjunto A es el conjunto de números enteros no negativos.

El problema de arriba es para el número par $N$ de la forma $12n+10,n \in \mathbb {Z_{ \ge 0}}$ es decir $N = p_1+p_2,\ $ donde $\ p_1 = 12i+5,p_2 = 12j+5,\ i,j \in \mathbb {Z},\ 0 \le i \le j,p_1,p_2 \in \mathbb {P} $ .
Hay problemas de la misma serie para el número par $N$ de las formas $12n+(2,4,6,8,12)$ .

Por ratificación: los problemas de la serie anterior pueden ser resueltos por el mismo método, entonces podemos probar fácilmente que cualquier número par mayor de 49 tiene al menos dos pares de Goldbach, esto significa que la conjetura de OP es cierta cuando $p>23$ .

Answer 3

La conjetura de Goldbach dice que cada número entero >= 4 es la suma de dos primos.

Ahora bien, obviamente si p es un primo, entonces el entero par 2p es la suma de dos primos, y si p no es un primo, entonces 2p no es la suma de dos primos iguales. Podemos eliminar los casos triviales 4 y 6. Así que escribiré la conjetura de Goldbach modificada trivialmente equivalente: Cada entero par >= 8 que no sea dos veces un primo es la suma de dos primos diferentes.

Ahora vemos que la conjetura que se discute aquí no tiene nada que ver con la conjetura de Goldbach, porque dice: Cada número entero >= 8 que es dos veces un primo es la suma de dos primos diferentes. Discute exactamente esos números enteros que la conjetura de Goldbach modificada no tiene en cuenta.

(Por otro lado, si se encuentra una prueba para mi conjetura de Goldbach modificada, es poco probable que confíe en sobre el hecho de que el n/2 es compuesto o utilizarlo de cualquier manera, por lo que es muy probable que una prueba de la conjetura de Goldbach modificada probaría también esta conjetura.

Answer 4

Como se señala en el PO y los comentarios, es probable que esto sea cierto por analogía con la conjetura y el cálculo numérico de Goldbach. Pero nadie sabe cómo probarlo. (No se me ocurre un método para abordar el problema que no resuelva también la conjetura de Goldbach. Por supuesto, tómalo como una afirmación vacuamente verdadera si quieres....)