Dodecaedro 3D: cuestión de la construcción.

Question

La siguiente imagen es una construcción en 2D que, cuando de corte y doblado de forma adecuada (esperemos que es intuitivamente claro cómo cortar y plegar), formas 3D dodecaedro. Funciona muy bien: he utilizado con éxito en la construcción de una muy agradable dodecaedro. El problema que estoy tratando de resolver es, dada una pieza rectangular de papel (de la mina pasa a ser de 32" X 40", pero cualquier rectángulo razonable para la construcción podría ser sustituido), ¿cuál es el mayor patrón de tal manera que se pueden extraer?

Como una ayuda para esto, me estoy basando mis construcción de Steiner Porism (mediante círculos concéntricos con los radios en una proporción dada de llenar en el anular de la región con una cadena de forma secuencial círculos tangentes, cada uno de los cuales es también tangente al círculo interior y exterior). Esta parte específica de la construcción es significativo sólo en que hace que el problema de la construcción de la más grande posible dodecaedro cut-out dentro de la región rectangular un poco más sencillo (en mi opinión al menos), porque ahora se puede dibujar dos círculos del mismo diámetro para llenar la página.

El problema es que la relación entre estos dos círculos no es algo tan simple como la tangencia. Se superpongan (como se muestra en el diagrama), pero ¿por cuánto?

En el diagrama, uno puede imaginar la línea " m " como la división de la hoja de papel a la mitad, por el corte de la dimensión más larga. Yo estoy tomando como dada por la expresión "razonable rectángulo para esta construcción," que uno de los círculos puede estar centrada define de forma similar a lo largo de la línea divisoria de la dimensión más corta.

Mi problema, realmente, es el lugar de los puntos a, B, y C, donde el punto medio de a y B se encuentra en la línea divisoria de la dimensión más corta, y hacer que los círculos tan grande como sea posible mientras que todavía el montaje en la página.

Puramente empírico, medí $\angle BAC = 8$ y el ángulo entre la línea divisoria m y y el borde de la mano derecha "exterior" del pentágono, como a los 16 grados (etiquetados en el diagrama).

Answer 1

Primero: yo no soy perfectamente clara acerca de cómo hacer la construcción, así que puede ser que falte algo. Por ejemplo, en la imagen que tienen algunos pentágono bordes horizontales, pero es que es un requisito? Usted podría encajar las cosas más fácilmente, sin necesidad de que. No es claro para mi ¿por qué la línea de $AB$ es de ninguna importancia. Como lo que yo puedo decir, que la línea parece ser definido por el punto de $A$ y la dirección vertical o uno de los pentágono esquinas. Pero el ángulo se $8°$ en ninguno de estos casos.

Si quieres hacer las cosas lo más grande posible, me gustaría rotar la figura, o, equivalentemente, gire la hoja de papel debajo de ella:

Ahora que había maximizar el resultado dodecaedro haciendo el papel simplemente toque la parte más externa de los pentágonos. Ese es el rectángulo naranja en mi foto. Pero tal vez usted necesita todos los círculos en la hoja para la construcción de trabajar. En ese caso, yo uso el rectángulo de color rosa, que es el más pequeño rectángulo que contiene ambos círculos.

Para calcular su tamaño, originalmente usaba el que se mide el ángulo de $125°$ entre los centros de los círculos y un punto de intersección, y según mi cálculo en que. La medición se hizo en la Cenicienta, y una buena ronda de ángulo para una instalación normal parecía bastante plausible. En el ínterin me enteré de que el ángulo no es exactamente $125°$, pero en lugar de esto se

$$\arccos\frac{3\sqrt5-9}4\approx124.956°$$

The distance between the two circle centers is

$$d=\sqrt{\frac{13-3\sqrt5}2}r\approx1.774r$$

Then the long side of the paper would have to be at least $2r+d\approx3.774r$ while the short side is at least $2r$. Now for $40$ inch as the longer edge you get

$$r=\frac{40''}{2+\sqrt{\frac{13-3\sqrt5}2}}\approx10.60''$$

so you know the radii of the circles and the distance between their centers.

If you instead go for the orange containing rectangle, its edges have lengths

$$\frac{3\sqrt5}2r\approx3.354r \qquad\text{y}\qquad \frac{\sqrt{25-2\sqrt5}}2r\approx2.265r$$

Remember that in all of these formulas, $r$ is the radius of one of the two circles you drew. Two other useful quantities are the edge length of one small face of the dodecahedron, or the edge length of the pentagon formed by six such faces. These lengths, expressed as a multiple of $r$, are

$$\sqrt{\frac{25-11\sqrt5}2}r\approx0.449r \qquad\text{resp.}\qquad \sqrt{\frac{5-\sqrt5}2}r\approx1.176r$$

¿Cómo puedo encontrar los números? Bueno, hice algunos cálculos en Sage, que representan puntos como los números complejos. Me partía desde la quinta raíces de la unidad y se fue hacia afuera a partir de allí el uso de la reflexión en el punto medio de una arista como lo esencial de la operación. He utilizado exract números algebraicos, entonces se calcula expresiones radicales de sus mínimos de polinomios.

# To find all vertices
z5 = QQbar.zeta(5)
pts1 = [z5^k for k in range(5)]
pts2 = [pts1[a]+pts1[(a+1)%5]-pts1[(a+1+b)%5] for a in range(5) for b in range(4)]
pts3 = pts2 + [pts2[1]+pts2[2]-z for z in [pts2[0]] + pts2[3:]]

# To see them, either as points or with their indices
points([(z.real(), z.imag()) for z in map(CDF,pts3)], aspect_ratio=1)
sum(text(k, (z.real(), z.imag())) for k, z in enumerate(map(CDF,pts3))).show(aspect_ratio=1)

# To compute the ratio d/r
c2 = pts3[1]+pts3[2]   # center of second circle
r = pts3[2].abs()      # radius of the circles
c2.abs()/r             # 1.773667960400232?
(c2.abs()/r).minpoly() # x^4 - 13*x^2 + 31

Otros números se calculan de manera similar. El ángulo se calcula a partir de $d/r$ mediante el coseno de la ley.