En un trabajo reciente con dos colegas http://arxiv.org/pdf/1408.5720.pdf se deriva de una cierta integral de la sentencia de la distribución de autovalores espaciamientos para un modelo de matrices aleatorias. La integral lee $$ J_M(s)=\int_0^\infty dt\ \frac{\sin(s t)}{t^{M-1}}[\mathrm{fer}(t)]^M\ , $$ donde $\mathrm{erf}(x)=(2/\sqrt{\pi})\int_0^x\ e^{-y^2}dy$ es la función de Error. $M$ es un gran positivo parámetro. De alguna manera, estoy luchando para encontrar el comportamiento asintótico de esta integral como $M\to +\infty$. Una silla de montar-punto de enfoque parecía un candidato natural, pero de alguna manera la oscilación de la parte está en el medio del camino (a menos que me estoy haciendo un tonto error). Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He aquí una más aproximación heurística. Para una fija $s$, mira el gráfico de el integrando para aumentar el $M$. Usted notará que el integrando todos, pero se desvanece, excepto por una pequeña ventana cerca de $t=\epsilon$. Por lo tanto, es razonable a la aproximación de la función de error con su 2º orden expansión de Taylor en este límite. También podemos sustituir el seno con su primera orden de expansión de Taylor. Por lo tanto, la integral es de aproximadamente
$$s \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^M \int_0^{\epsilon} dt \, t^2 \, \left (1-\frac{t^2}{3} \right )^M $$
que, para efectos de la aplicación de Laplace del método, puede escribirse como
$$s \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^M \int_0^{\epsilon} dt \, t^2 \, e^{M \log{(1-t^2/3)}} $$
que puede estimarse de forma aproximada, con exponencialmente pequeño error, como
$$s \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^M \int_0^{\infty} dt \, t^2 \, e^{-M t^2/3} $$
Por lo tanto, el principal comportamiento asintótico de la integral es
$$\int_0^{\infty} dt \, \frac{\sin{s t}}{t^{M-1}} (\operatorname{erf}{t})^M \sim \frac12 s \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^{M-1} \left (\frac{M}{3} \right )^{-3/2} \quad (M \to \infty)$$
Lo que hace el $\sim$ significa? El error más grande se produce en la aproximación de la fer y el sine por su menor orden expansiones de Taylor. La mayor expansión se producirá el mismo poder de $2/\sqrt{\pi}$, pero la disminución de los poderes de $M/3$. La siguiente orden en la expansión en el hecho de ser $(M/3)^{-5/2}$. Por lo tanto podemos escribir
$$\int_0^{\infty} dt \, \frac{\sin{s t}}{t^{M-1}} (\operatorname{erf}{t})^M = \frac12 s \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^{M-1} \left [ \left (\frac{M}{3} \right )^{-3/2} +O \left ( M^{-5/2} \right ) \right ]$$
Un log-log de la parcela de que el error relativo entre la integral y este comportamiento asintótico produce una línea de pendiente $-1$, por lo que verifica el comportamiento. Hice esto en Mathematica para $s=2$$M \in [10,100]$: (lo siento, no muy eficientemente código escrito)
Parcela[Log[10, Abs[(NIntegrate[ t Pecado[2 t] (Fer[t]/t)^(10^m), {t, 0, Infinity}] - (2/Sqrt[Pi])^((10^m - 1)) ((10^m)/3)^(-3/ 2))/(NIntegrate[ t Pecado[2 t] (Fer[t]/t)^(10^m), {t, 0, Infinity}] + (2/Sqrt[Pi])^((10^m - 1)) ((10^m)/3)^(-3/ 2))]], {m, 1, 2}]
ANEXO
A propósito de la respuesta añade aquí la afirmación de que el resultado anterior puede ser extendido a una Gaussiana como el comportamiento en $s$, me permiten demostrar por qué este no es el caso. Aquí me limitaré a extender el resultado anterior, proporcionando la siguiente orden superior plazo. Tenga en cuenta que, al hacerlo, debemos considerar tanto la expansión de la función de error y la expansión de la sinusoidal plazo.
En primer lugar, considerar la función de error plazo. Lo que ocurre es que el próximo fin de la expansión de la exponencial es
$$\log{\left ( \frac{\operatorname{erf}{t}}{t}\right )} = -\frac{t^2}{3} + \frac{2 t^4}{45} + O \left ( t^6\right )$$
Ahora, si tenemos en cuenta cómo definimos $\epsilon$ anterior, hemos limitado la región de integración a $m \epsilon^2 = O(1)$ o $\epsilon \sim m^{-1/2}$. Por lo tanto, para el próximo fin de plazo en la exponencial, $m \epsilon^4 \sim m^{-1}$. Así que para la gran$m$ límite, podemos realmente Taylor ampliar la exponencial de la cuarta-el fin de la pieza.
Sin embargo, cuando hacemos eso, también debemos coincidir con el equivalente a la expansión de Taylor de la sinusoidal. Esto requiere de un partido para el orden correcto de $m$ en la asintótica de expansión en este caso, el término cuadrático en el seno partidos de la cuártica término de la función de error debido a la cuártica término tiene un factor de $m$ construido en. (Este es un lugar común - ver Bender & Orszag, sec. 6.4 para obtener más detalles.)
No voy a hacer el álgebra, que me deja para el lector. (A decir verdad - me hizo el alto poder de expansión en Mathematica.) El resultado es
$$\int_0^{\infty} dt \, \frac{\sin{s t}}{t^{M-1}} (\operatorname{erf}{t})^M = \frac12 s \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^{M-1} \left [ \left (\frac{M}{3} \right )^{-3/2} + \frac{1-s^2}{4}\left (\frac{M}{3} \right )^{-5/2} +O \left ( M^{-7/2} \right ) \right ]$$
Y aquí está el esperado log-log del error relativo con la pendiente de $-2$:
Para la comparación, aquí está el resultado propuesto por la otra respuesta, utilizando todos los órdenes de la función seno combinado con el de primer orden de la expansión de la función de error:
$$\int_0^{\infty} dt \, \frac{\sin{s t}}{t^{M-1}} (\operatorname{erf}{t})^M \sim \frac{s}{4} \left (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \right )^{M} \left (\frac{M}{3} \right )^{-3/2} e^{-3 s^2/4 m} $$
Aquí está el log-log de la parcela de que el error relativo:
Tenga en cuenta que, mientras que el error relativo es muy ligeramente mejorado con el sencillo principal de orden de expansión, que ofrece absolutamente ningún adicional de orden superior de la información (como la pendiente es todavía $-1$).
El punto de todo esto es que hay un montón de maneras de conseguir potencialmente malos resultados. Uno de ellos es la de proponer la ampliación de la amplitud de la función (es decir, la condición sine aquí) sin una correspondiente expansión de la "fase" de la función (es decir, la función de error aquí). De orden superior, los términos deben ser obtenidos por el equilibrio de las expansiones de los dos y observando que el orden superior de las exponenciales se pueden Taylor se expandió la definición de los principales asintótica de expansión. También, afirmaciones hechas aquí deben estar respaldados con los resultados numéricos, que programas como Mathematica hace fácil de proporcionar.
El consejo dado anteriormente pueden ser ajustados para obtener información más detallada. Después de haber realizado la aproximación $h(t)= erf(t)/t = \frac{2}{\sqrt{\pi}} ( 1- \frac{t^2}{3} +\ldots) \approx \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2/3}$ como se sugirió anteriormente, usted puede tomar nota además de que la integral en el que está interesado
$\int_0^{\infty} t\sin(st) h^m(t) dt \approx (\frac{2}{\sqrt{\pi}})^m \int _0^{\infty} t \sin (st) e^{- mt^2/3} dt = -(\frac{2}{\sqrt{\pi}})^m\frac{\partial}{\partial s} \int _0^{\infty} \cos (st) e^{- mt^2/3} dt$ y reconocer el extremo derecho de la integral como la transformada de Fourier de una función de Gauss, que es por lo tanto una Gaussiana en $s$.
Más precisamente, con el fin de justificar el modelado $H(t)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}h(t) = ( 1- t^2/3 +\ldots )$ y su alto poder como Gaussianas, se observa que el Morse Lema nos dice que la función de $ - \ln H(t)$ que se desvanece cuadráticamente en $t=0$ puede ser expresado exactamente como el cuadrado de alguna función derivable $u(t)$ que se desvanece en el origen: $ - \ln H(t) = u^2(t) =t^2/3+\ldots$. Por lo tanto $H(t) = e^{-u^2}$ exactamente. (La serie que define a $u(t)=\frac{t}{\sqrt{3}}+ \ldots $ converge en algún intervalo que contiene el origen). Por la reversión de la serie que se puede resolver para $t$ como una potencia de la serie en $u$.
Recordar
$ H^m(t) = e^{- m u(t)^2}$ exactamente. La integral que buscamos es
$ \int_{t=0}^{t=\infty} t \sin (s t) h^m(t) dt$ que es exactamente
$$((\frac{2}{\sqrt{\pi}})^m \int _{t=0}^{t=\infty} t \sin (st) e^{- m u^2(t) } dt $$
$$= ((\frac{2}{\sqrt{\pi}})^m\frac{d}{ds}\int _{t=0}^{t=\infty} \cos(st) e^{- m u^(t)^2 } dt $$ This is now ideally suited to the method of analysis by stationary phase when $m$ is large, because the last integrand has a sharp peak localized at the origin. The last integral can be expressed as an integral with respect to the variable $u$, by reversion of series. However, it is already qualitatively clear that since $t\aprox u$, el comportamiento asintótico será similar al comportamiento de la transformada de Fourier de una Gaussiana.
