Que $f\colon (0,\infty) \to \mathbb{R}$ un continuo función tal que para cada $\delta >0$ % $ $$l = \lim_{n \to \infty} f(n\delta) $(el límite no depende de $\delta$)
¿Es posible probar que $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existen?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dan Robertson
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Nota: respuesta Parcial sólo en el momento.
Estoy suponiendo que los límites que suponen sólo se toman más de enteros. Sin duda, su declaración funciona al revés (el continuo límite implica el límite de la serie) y si continua el límite de converge, entonces debe converger a $\ell$. Ahora vamos a ampliar su declaración con las dos definiciones de los diferentes tipos de límite en su pregunta. Quieres probar: $$\exists\ell\en\Bbb R\quad\forall\delta>0\quad \forall\epsilon>0\quad\existe N\in\Bbb N \quad\forall N<n\in\Bbb N \quad |f(n\delta)-\ell|<\epsilon $$ $$\Rightarrow$$ $$[\exists\ell\en\Bbb R]\quad\forall \epsilon>0 \quad\existe y>0 \quad\forall x>y\quad |f(x)-\ell|<\epsilon $$
Mi siguiente paso sería "Vamos a $\epsilon>0$...". Y, a continuación, me gustaría ver en qué me había necesidad de asumir y tratar de probar o ver un ejemplo contrario.
Ahora hay un mostrador ejemplo si $f$ no tiene que ser continua:
Deje $p_1<p_2<\cdots$ ser primer.
Definir $1<q_1<2<q_2<3<\dots$ como: $$q_i=\frac{i p_i+1}{p_i}$$
Deje $f$ cero en todas partes, excepto que $f(q_i)=1$ para infinidad de $i.$
Tal vez esto puede ser modificado para darnos una función continua que también funciona.
Si $\delta$ sólo podía tomar racional de los valores, entonces usted podría empalmar superior y superior de la frecuencia de los sinusoides, de modo que la secuencia de $(f(n\delta))$ llegaría a ser constante para todas las $\delta\in\Bbb Q$, pero que no es bueno para $\delta\not\in\Bbb Q$.
Ok probar esta. Definimos $p_i$ $q_i$ como en el primer contraejemplo excepto omitimos algunos pequeños números primos, ya que no nos dan lo suficientemente grandes denominadores. Ahora defina $i<q_i<r_i<i+1$ por: $$r_i=q_i+\frac1{p_i}$$
Ahora vamos a $f$ ser el más simple pieza sabio función lineal que es cero para todos los valores de $(0,1],\,[r_1,2],\,[r_2,3],\,\dots$ 1 $q_1,q_2,\dots$. Si usted dibujar esto en un gráfico, aparece como una serie de cada vez más afilados picos (observamos que mientras que $f$ es continuo, no es uniformemente continua). Tengo la fuerte sospecha (aunque no he probado) que este es un contraejemplo. No tenemos que para $\delta=\frac1{p_i}$ que los picos de pronto se convierten en lo suficientemente delgada para caber en el espacio entre las $n$$\frac{np_i+1}{p_i}$. Argumentos similares se pueden hacer sobre cualquier racional $\delta$. Esto deja irracional $\delta$ a probar. Esta es probablemente la más difícil caso.
