¿Cómo calcular$\lim_{x \to 0} (\frac{x^5 e^{-1/x^2}+x/2 - \sin(x/2))}{x^3})$?

Question

Tengo un problema con este límite. No tengo idea de donde está el problema. Puedes corregir mi error? Gracias

$$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{x^5 e^\frac{-1}{x^2}+\frac{x}{2} - \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\right)$$

He utilizado el desarrollo de McLaurin $e^x$ $\sin x$

$$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{x^5 (1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2x^4})+\frac{x}{2} - ((\frac{x}{2})-(\frac{x^3}{48}))}{x^3}\right) = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{x^5-x^3+ \frac{x}{2} +\frac{x}{2} - \frac{x}{2}+\frac{x^3}{48}}{x^3}\right)=$$

$$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{-x^3+\frac{x^3}{48}}{x^3}\right)= \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{-\frac{47x^3}{48}}{x^3}\right)=\lim\limits_{x \to 0} \left(-\frac{47x^3}{48 x^3}\right)= -\frac{47}{48}$$

pero el resultado es incorrecto.

Answer 1

Ajuste del $y=x^{-1}$, es equivalente a $$ y ^ y \cdot \left(\frac{1}{e^{y^2}y^5}+\frac{1}{2y}-\sin\left(\frac{1}{2y}\right)\right) \approx 3 ^ 3 \cdot \left(\frac{1}{2y}-\left(\frac{1}{2y}-\frac{1}{48y^3}\right)\right) $$ $y\to \infty$. La conclusión.

Answer 2

Uno puede escribir, como $x \to 0$, $$\begin{align} \frac{x^5 e^{-\frac1{x^2}}+\frac{x}{2} - \sin(\frac{x}{2})}{x^3}&=\frac{x^5 e^{-\frac1{x^2}}+\frac{x}{2} - \left(\frac{x}2-\frac{x^3}{48}+O(x^5)\right)}{x^3}\\ &=\frac{x^5 e^{-\frac1{x^2}} + \frac{x^3}{48}+O(x^5)}{x^3}\\ &=\frac{x^2 e^{-\frac1{x^2}} + \frac{1}{48}+O(x^2)}{1}\\ &= \frac{1}{48}+O(x^2)\\ \end {alinee el} $$ giving $\dfrac{1}{48}$ for the sought limit, where we have used $\displaystyle x ^ 2 $ e^{-\frac1{x^2}}=O(x^2) (por no decir más).