Creo que, más generalmente, usted necesita orientación sobre la notación $f\colon A \times B \to C$, que es la notación para "una función llamada $f$, a partir del producto Cartesiano $A \times B$ de los conjuntos de $A$$B$, para el conjunto de $C$" (el producto Cartesiano $A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$ es el conjunto de todos los pares ordenados con las cosas tomadas de $A$$B$). De manera más general, el formato es
$$\text{function name} : \text{domain} \to \text{codomain}$$
Pero esta notación $f \colon A \times B \to C$ a menudo no dice nada acerca de cuál es la función que realmente hace a los pares $(a, b) \in A \times B$ a producir algunas de las $f(a, b) \in C$, a menos que $f$ pasa a tener una particular descriptivo nombre/símbolo. En este caso, se ven a menudo funciones introdujo en "dos partes",
\begin{align*}
f \colon A \times B &\to C \\
(a, b) &\mapsto \text{however %#%#% determine %#%#%}
\end{align*}
donde la primera línea especifica el nombre de la función y todos los conjuntos que necesitamos, y la segunda línea de la realidad nos dice lo $a, b$ hace a los pares de $f(a, b)$ (y tenga en cuenta el nuevo símbolo $f$, que se utiliza como $(a, b)$ por encima. Pero $\mapsto$ se utiliza con conjuntos, el dominio y el codominio, mientras que $\to$ es utilizado entre la entrada y la salida, para explicar lo que sucede a los elementos de los conjuntos).
Así nunca vas a ver la notación como $\to$, con la función colocado entre los conjuntos. En su lugar, verá el nombre de la función/notación en el lugar de $\mapsto$, antes de poner el dominio. Así que cosas como
$$
\cdot \colon \Bbb R^n \times \Bbb R^n \\R Bbb
$$
es una (ligeramente confuso) notación diciendo que hay una función llamada "$\Bbb R^m \cdot \Bbb R^n \to \Bbb R^{m + n}$" que lleva dos vectores en $f$, y el te devuelve un número real (podemos suponer que es el punto estándar de producto).
$\cdot$$
sería el (de alguna manera más confusa) notación para decir que hay una función llamada "$\Bbb R^n$" que lleva dos vectores en $$\times \colon \Bbb R^3 \times \Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ y devuelve otro vector en $\times$; probablemente es el estándar de producto cruzado de $\Bbb R^3$.
Para un poco menos rara ejemplo, podríamos utilizar
$$
+ \colon \Bbb R^n \times \Bbb R^n \\Bbb R^n
$$
decir que tenemos una operación que se llama "$\Bbb R^3$" que lleva a los pares de vectores en $\Bbb R^3$, y devuelve un vector único en $+$ (y a menos que se indique lo contrario, todos tendrían que asumir "$\Bbb R^n$" significa exactamente lo que creo que significa).
El dominio y el codominio puede venir en todo tipo de variedades. Por ejemplo, las funciones no tienen que ser definidos en los pares de cosas, en el que caso de que nuestro dominio no va a ser un producto Cartesiano. Así que para hablar sobre el estándar de la función de raíz cuadrada, podríamos escribir
$$
\sqrt{\ }\; \colon \Bbb R_{\ge 0} \a \Bbb R_{\ge 0}.
$$
O tal vez estamos en sus manos una función bastante con un nombre críptico,
\begin{align*}
\operatorname{ev} \colon M_{n \times n}(\Bbb R) \times \Bbb R^n &\to \Bbb R^n \\
(A, \vec{v}) &\mapsto A\vec{v}
\end{align*}
pero con la práctica, podemos ver que es la evaluación del mapa que lleva un $\Bbb R^n$ matriz con entradas real y un vector en $+$, y se aplica $n \times n$$\Bbb R^n$.
