Demuestra que estos dos ángulos son iguales

Question

Una circunferencia interior toca a la exterior en el punto P. BC es una cuerda cualquiera de la circunferencia interior que, al extenderse, corta a la exterior en los puntos A y D. Es decir, el segmento de recta ABCD es una cuerda de la circunferencia exterior. Demostrar que $\angle APB = \angle DPC$ .

He adjuntado un dibujo (de fantasía) del problema.

Extendí PB y PC para cortar el círculo exterior en E y F respectivamente. Parece que $\triangle PAE \sim \triangle PDF$ (sería suficiente para la prueba), pero he sido incapaz de demostrarlo. Este es mi progreso:

1. $\angle PEA = \angle PDA = \angle PDC$ (la misma cuerda PA subtiende ángulos iguales en el mismo lado de la circunferencia)

2. $\angle PAD = \angle PAB = \angle PFD$ (acorde PD)

Y aquí es donde estoy atascado :(

Answer 1

Esta es una pregunta estándar, que utiliza la idea de homotecia.

Una pista: Demuestra que $EF$ es paralelo a $AD$ . Esto es inmediato por la homotecia.

Por lo tanto, esto nos da un trapecio que está inscrito en un círculo, por lo tanto es isósceles, así que $AE=FD$ y hemos terminado.

---

Tu intuición original sobre los triángulos semejantes es incorrecta, por lo que tu prueba no pudo continuar.

Sin embargo, lo que sí es cierto es que $PBA \sim PDF$ . Muéstrale esto. Si puedes hacerlo directamente, esta es otra prueba.

Una pista: Ya ha demostrado que $\angle PAD = \angle PFD$ . Ahora haz la otra persecución ángulo por ángulo.

Answer 2

Una pista: Tenga en cuenta que $PE:PB=PF:PC=r_1:r_2$ Por lo tanto $EF\|BC$ Por lo tanto $AE=DF$ De ahí la afirmación

Answer 3

¿Se ha enterado de la inversión? Si inviertes sobre el punto P, el resultado es trivial. Los dos círculos se convierten en líneas paralelas, tu línea azul se convierte en un círculo que pasa por P, y las otras líneas que pasan por P no cambian.

Answer 4

He venido a través de la propiedad - El ángulo entre una tangente y una cuerda es igual al ángulo inscrito en el lado opuesto de la cuerda.

Esto da para el acorde PA: $\angle XPA = \angle PDA$ y para el acorde PB: $\angle XPB = \angle PCB$ .

Al utilizarlos se obtiene el resultado deseado: $\angle APB = \angle XPB - \angle XPA = \angle PCB - \angle PDA = (\angle DPC + \angle PDC) - \angle PDA = \angle DPC$