cómo mostrar $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{1+a^x} dx= \frac{\pi}{2}$

Question

-Vamos a $a\neq 0$, a continuación, cómo mostrar el $$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{1+a^x} dx= \frac{\pi}{2}$$

He intentado $a=1$ para conseguir que la respuesta es $\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) dx$ y parece correcto. ahora yo no puedo seguir con una respuesta general. Creo que puede utilizar Feynmans Truco.

Answer 1

He utilizado Kellener los buenos comentarios, $x\to -x$ $$I =\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{1+a^x} dx =\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x\cos^2(x)}{1+a^x} dx $$

por lo tanto, en adición, $$2I = \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(x)dx = \int_{0}^{\pi} 1+\cos(2x) dx = \pi$$

Más obtener respuesta, de nuevo como $\frac{\pi}{2}$. Muchas gracias a Kellener.

Answer 2

En primer lugar, vamos a $I$ ser su integral. Usted puede utilizar para todos los $a >0$ $$ \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\text{d}x}{1+a^{x}}=\pi-\frac{\ln\left(1+a^\pi\right)}{\ln\left(a\right)}-\left(-\pi-\frac{\ln\left(1+a^{-\pi}\right)}{\ln\left(a\right)}\right)=2\pi-\pi=\pi $$ A continuación, introducir su gemelo integral de la $J$ definido por $$ J=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin^2\left(x\right)}{1+a^{x}}\text{d}x $$ Entonces $$ I+J=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\text{d}x}{1+a^{x}}=\pi$$ Ahora vamos a ir a la original y la parte difícil,

$$ I-J=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos\left(2x\right)}{1+a^{x}}\text{d}x=\int_{-\pi}^{0}\frac{\cos\left(2x\right)}{1+a^{x}}\text{d}x+\int_{0}^{\pi}\frac{\cos\left(2x\right)}{1+a^{x}}\text{d}x $$ con $u=-x$ $\text{d}x=-\text{d}u$ y $$ \int_{-\pi}^{0}\frac{\cos\left(2x\right)}{1+a^{x}}\text{d}x=\int_{0}^{\pi}\frac{a^x\cos(2x)}{a^x+1}\text{d}x$$

suma de las dos le da $$ I-J=\int_{0}^{\pi}\cos\left(2x\right)\text{d}x=0 $$ Por lo tanto $$ I+J=\pi \ \text{ y } I=J $$ Finalmente

$$ I=\frac{\pi}{2} $$

Answer 3

para $a\neq 0$ dejamos $$I(a) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(x)}{1+a^x} dx\implies I'(a) = -\int_{-\pi}^{\pi} \frac{xa^{x-1}\cos^2(x)}{(1+a^x)^2} dx $$

dejando $x= -t$ da $$I'(a) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{ta^{-t-1}\cos^2(t)}{(1+a^{-t})^2} dt = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{ta^{2t}a^{-t-1}\cos^2(t)}{(a^{t}+1)^2} dt =\int_{-\pi}^{\pi} \frac{ta^{t-1}\cos^2(t)}{(a^{t}+1)^2} dt =-I'(a)$$

Por lo tanto $2I'(a) = 0$ $$ I'(a) = 0\implies I(a) =I(1) = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(x) dx =\frac{\pi}{2}$$