Encuentra $a$ , $b$ , $c$ , $d$ de tal manera que $(ax+b)^2(x+c) = 4x^3 + dx^2 + 55x - 100$

Question

¿Cómo podría encontrar $a$ , $b$ , $c$ y $d$ en :

$$(ax+b)^2(x+c) = 4x^3 + dx^2 + 55x - 100$$

Ya he resuelto que $a=2$ pero puede que me equivoque. No estoy seguro de cómo encontrar los valores de las otras letras.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Dejemos que $f(x) = 4x^3 + dx^2 + 55x - 100 = (ax+b)^2(x+c)$ .

Es trivial ver $a = \pm 2$ . Sólo consideraremos el caso $a = 2$ . La clave de este problema es $f(x)$ contiene un factor cuadrado $(ax+b)^2$ . Esto significa que $f'(x) = 12x^2+2dx+55$ contienen $(ax+b)$ como factor.

Dados dos polinomios cualesquiera $g(x), h(x) \in \mathbb{C}[x]$ . Si se calcula su gcd sobre $\mathbb{C}[x]$ utilizando el algoritmo euclidiano, el gcd que se obtiene será una expresión independiente de $x$ . Será un polinomio en coeficientes de $g(x)$ y $h(x)$ . La propiedad más importante de este gcd es

$g(x)$ y $h(x)$ contiene un factor común si y sólo si este gcd desaparece.

Hasta cierto factor de escala, este gcd se conoce como el resultante de los dos polinomios. Si se lanza el comando Resultant[4*x^3 + d*x^2 + 55*x-100,12*x^2+2*d*x+55,x] a WA ( wolframio alfa ), se obtendrá la siguiente condición para $d$ :

$$D(d) \stackrel{def}{=} 16 d^3 + 121 d^2 - 15840 d - 279280 = 0\tag{*1}$$

Hasta el factor de escala de nuevo, la resultante de un polinomio $f(x)$ y su derivado $f'(x)$ se conoce como su discriminante . También puede utilizar el comando Discriminant[4*x^3+d*x^2+55*x-100,x] en WA para derivar la condición anterior.

Para derivar $b$ , utilizaremos el hecho cuando se calcule el gcd entre $f(x)$ y $f'(x)$ utilizando el algoritmo euclidiano. En el momento en que se obtiene un factor lineal, ese factor será proporcional a $ax + b$ . Desde

$$36f(x) - (12x+d)f'(x) = (1320-2d^2)x - (55d+3600)$$

tenemos

$$2 : b = 1320-2d^2 : 55d+3600 \quad\implies\quad b = B(d) \stackrel{def}{=} \frac{55d+3600}{d^2 - 660}$$

Comparando los coeficientes de $x^2$ en $4x^3 + dx^2 + 55x - 100 = (ax+b)^2(x+c)$ obtenemos la siguiente expresión para $c$ :

$$c = \frac{d}{4} - b = C(d) \stackrel{def}{=} \frac{d}{4} - \frac{55d+3600}{d^2-660}$$

Utilizando esta expresión de $b$ y $c$ se puede utilizar un CAS para verificar

$$(2x+B(d))^2(x + C(b)) = f(x) + \frac{25 D(d) (36 d^2x-23760x+d^3+43200)}{4(d^2-660)^3}$$

Como se puede ver, todo se reduce a resolver la ecuación cúbica $D(d) = 0$ .

Numéricamente, $D(d) = 0$ tiene una raíz en $d_0 \approx 34.98939913719146$ . Este conduce a la siguiente solución aproximada del problema:

$$\begin{align}(a,b,c,d) &= (a,B(d_0),C(d_0),d_0)\\ &= ( 2,\; 9.790585944043832,-1.043236159745968,\; 34.98939913719146 )\end{align}$$

Answer 2

Una pista: $$(ax+b)^2(x+c)={a}^{2}c{x}^{2}+{a}^{2}{x}^{3}+2\,abcx+2\,ab{x}^{2}+{b}^{2}c+x{b}^{2}=a^2x^3+x^2(a^2c+2ab)+x(2abc+b^2)+b^2c$$

Answer 3

Sólo hazlo:

$(ax+b)^2(x+c)$ se expande a $(a^2x^2 + 2abx + b^2)(x+c) = a^2x^3 + 2abx^2 + b^2 x + a^2cx^2 + 2abcx + b^2c= a^2x^3 + (2ab + a^2c)x^2 + (b^2 +2abc)x + b^2 c$

Así que

$a^2x^3 + (2ab + a^2c)x^2 + (b^2 +2abc)x + b^2 c= 4x^3 + dx^2 + 55x - 100$

Así que tienes tres conjuntos de ecuaciones:

$a^2 = 4$

$2ab + a^2c = d$

$b^2 +2abc=55$

y $b^2c = -100$ .

Así que resuélvelos:

Así que $a^2 = 4 \implies a = \pm 2$ . Ahora bien, si $\pm2, b_1, c_1, d_1$ es un conjunto de soluciones, entonces $\mp2, -b_1,c_1, d_1$ también es un conjunto de soluciones así que, wolog, supondremos $a = 2$ . Y

$2ab + a^2c = d\implies d =4(b+c)$

$b^2 +2abc=55\implies b^2 + 4cb - 55 = 0 \implies b = \frac {- 4c \pm \sqrt{16c^2 + 220}}{2}= -2c \pm \sqrt{c^2 - 55}$

Y finalmente $b^2c = -100$ significa $c(-2c \pm \sqrt{c^2 - 55})^2 = -100$

$c(4c^2 \pm 4\sqrt{c^2 - 55} + c^2 - 55) = -100$

Lo cual no envidio que resuelvas.

Pero $c < 0$ (porque $cb^2 =-100 < 0$ ) y $c^2 > 55 $ así que $|c|(4c^2 + c^2 - 55) > 100$ para que " $\pm$ " debe ser " $-$ "

Answer 4

Puedes ampliar el lado izquierdo. El coeficiente de cada potencia de $x$ de la izquierda debe coincidir con el coeficiente correspondiente de la derecha.
Pero acabarás resolviendo una ecuación cúbica para $b$ , $c$ o $d$ .

Answer 5

Hay cuatro desconocidos en $$(ax+b)^2(x+c) = 4x^3 + dx^2 + 55x - 100$$ Así, asignando cuatro valores a $x$ y resolviendo las ecuaciones resultantes se encuentran las incógnitas.

Por ejemplo, para $x=0$ obtenemos

$$2bc = - 100$$

Para x=1, se obtiene $$(a+b)^2(1+c) = 4 + d + 55 - 100$$

El resto es simple álgebra y puedes manejarlo.