Encuentre el extremo de la función $J(y) = \int_{0}^{1} ((y')^2 -y)dx$ y discute si proporcionan un máximo/mínimo

Question

Me está costando mucho entender las funciones y el cálculo de variaciones,

Mi pregunta es: Dado un funcional y utilizando la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar un extremo, ¿cómo demostramos que el extremo proporciona un mínimo/máximo (si lo hace)

La pregunta en la que estoy trabajando es

$J(y) = \int_{0}^{1} ((y')^2 -y)dx$ con $y(0)=0, y(1)=1$

Me pareció que el extremo era: $y(x) = \frac{-1}{4}x^2 +\frac{5}{4}x$ que me han dicho que es un mínimo para el problema funcional.

Sin embargo, no estoy seguro de lo que es suficiente para demostrar esto, en las notas que tengo se muestra que:

$J(y+f) = J(y) + \int_{0}^{1}(f')^2dx \geq J(y)$ donde f es continuamente diferenciable en el intervalo 0,1 con $y(0)=y(1)=0$

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una posible estrategia:

1. Reparametrizar la variable dinámica $$\tag{A} y(x)~=~f(x)+\frac{5x-x^2}{4} , $$ donde la nueva variable $f(x)$ mide la desviación de la solución estacionaria $x\mapsto \frac{5x-x^2}{4}$ . Obedece a las condiciones de contorno de Dirichlet $$\tag{B} f(0)~=~0~=~f(1).$$

2. Demostrar que $$\tag{C} J[y]~=~\int_0^1\! dx\left(y'(x)^2 -y(x)\right) ~\stackrel{(A)}{=}~...~\stackrel{(B)}{=}~\frac{25}{16}+\underbrace{\int_0^1\! dx~f'(x)^2}_{\geq 0}.$$

3. Concluya a partir de la ec. (C) que la solución estacionaria es un mínimo global único.

Answer 2

Hay condiciones según las cuales se decide si el extremo es minimizador o maximizador. Hay dos condiciones 1.la condición de legendre 2. La condición de Weierstrass La primera es un poco más sencilla de aplicar siempre y cuando se busquen las condiciones necesarias antes. $F_{y'y'}>0$ entonces es un mínimo y más fuerte para todo y cercano a p donde p es $y'$ . Y si no, es un máximo. Ahora bien, en esta pregunta resulta $2$ .por lo tanto un mínimo

Answer 3

Encuentre la condición necesaria para una curva suficientemente suave $y (x)$ sea un extremo del funcional $$ J(y)=\int_a^b L((x,y(x),y'(x),y''(x))dx $$ Con condiciones de contorno $y(a)=y_0$ , $y(b)=y_1$ , $y'(a)=y'_0$ , $y'(b)=y'_1$