diferentes definiciones para $C^\infty(p)$

Question

He visto en algunos libros y apuntes que para definir el vector tangente $v:C^\infty(p)\to\mathbb R$ el autor define $C^\infty(p)$ como el conjunto de todas las funciones de valor real $f:M\to\mathbb R$ tal que existe un conjunto abierto $U\subseteq M$ que contiene $p$ y $f|_U$ es suave y entonces define un vector tangente como un mapa $v:C^\infty(p)\to\mathbb R$ tal que para todo $f,g\in C^\infty(p)$ y $a,b\in\mathbb R$ ,

$$v(af+bg)=av(f)+bv(g)\\ v(fg)=f(p)v(g)+v(f)g(p).$$

Entonces, ¿por qué necesitamos realmente insertar funciones suaves que concuerden en algún conjunto abierto más pequeño que contenga $p$ en una clase de equivalencia y definir $C^\infty(p)$ como el conjunto de estas clases de equivalencia? Y luego definir un vector tangente como el mapa $v:C^\infty(p)\to\mathbb R$ tal que para todo $[f],[g]\in C^\infty(p)$ y $a,b\in\mathbb R$ ,

$$v[af+bg]=av[f]+bv[g]\\ v[fg]=f(p)v[g]+v[f]g(p)?$$

¿Qué diferencias hay entre la primera y la segunda $C^\infty(p)$ ? ¿Es la primera definición una definición estándar?

Answer 1

Mientras dos funciones coincidan en un conjunto abierto, tendrán la misma derivada direccional. Hemos hecho la identificación de los operadores,

$$D_{e^j} = \frac{\partial}{\partial x^j}$$

donde $D_v$ es la derivada direccional. Si las funciones coinciden en un conjunto abierto, entonces tendrán la misma derivada direccional. Recordemos que para una función suave $f: M \to \mathbb{R}$ definimos la acción,

$$ \frac{\partial}{\partial x^j} \Bigr|_p \ f = \frac{\partial}{\partial r^j} \Bigr|_{\phi(p)} \ f \circ \phi^{-1}$$

donde $(\phi, U) = (\phi, x^1,...,x^n)$ es un gráfico sobre $M$ y $r^1,...,r^n$ son las funciones de coordenadas estándar en $\mathbb{R}^n$ . Por tanto, esta definición nos permite definir una clase de equivalencia en $C^{\infty}$ funciones sobre $p$ . Esta es la definición de germen. Por lo tanto, la definición anterior está bien definida. Ahora con respecto a su notación tenemos $\textbf{v}[f] = \textbf{v}[g]$ es decir, su definición está bien definida.

$\textbf{In Sum}$ : El lado izquierdo tiene sentido para funciones suaves en variedades $M$ que son subconjuntos de $\mathbb{R}^N$ . Estamos ideando una definición general que debería imitar este caso especial, ya que queremos estudiar las variedades abstractas. El término germen es sólo una definición para categorizar funciones de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ que acordaron algún conjunto abierto. La razón para distinguir estas funciones era que sus derivadas direccionales eran iguales. Así que ahora en nuestro caso donde $M$ no es un subconjunto del espacio euclidiano, llamaremos simplemente $\mathbb{R}$ -funciones valoradas que coinciden en un conjunto abierto, gérmenes. Por lo tanto, siempre que se conozca una propiedad $P$ para las funciones $g,f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ entonces, en la teoría de las múltiples lisas, nos referiríamos a las funciones $g,f: U \subset M \to \mathbb{R}$ en el que $f=g$ como los gérmenes.