Singular valor de las desigualdades

Question

Esta es mi pregunta: Es el siguiente afirmación verdadera ?

Deje $H$ ser real o complejo Hilbertspace y $R,S:H \to H$ compacto de los operadores. Para cada $n\in\mathbb{N}$ la siguiente desigualdad se cumple:

$$\sum_{j=1}^n s_j(RS) \leq \sum_{j=1}^n s_j(R)s_j(S)$$

Nota: $s_j(R)$ denota la j-ésimo valor singular de la opeartor $R$. La secuencia de los valores singulares de caídas monótonamente a cero.

Con saludos cordiales, mat

---

Edit: me enteré, de que la afirmación es verdadera para los productos en lugar de sumas. Por eso me refiero a:

Deje $H$ $\mathbb{K}$- Hilbertspace y $R,S: H \to H$ compacto de los operadores. Para cada $n\in\mathbb{N}$ tenemos:

$$\Pi_{j=1}^n s_j(RS) \leq \Pi_{j=1}^n s_j(R)s_j(S)$$

Es posible obtener la declaración de las sumas de esto?

Answer 1

La afirmación es verdadera. Es un caso especial de un resultado por Horn (En el singular de los valores de un producto completamente continuo de los operadores, Proc. Nat.Acad. Sci. USA 36 (1950) 374-375).

El resultado es el siguiente. Deje $f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$$f(0)=0$. Si $f$ se vuelve convexo tras la sustitución de $x=e^t$$-\infty\leq t<\infty$, entonces para cualquier lineales completamente continuo de los operadores de $R$ y $S$, $$\sum_{j=1}^n f(s_j(RS))\leq \sum_{j=1}^n f(s_j(R)s_j(S)).$$

La función de $f(x)=x$ cae en el ámbito de aplicación del teorema y la prueba de ello se sigue del teorema usted dijo acerca de los productos.