Riemann Integral De Stieltjes

Question

He estado tratando de obtener el conocimiento con Riemann Steltjes integral y llegó a través de algunas tareas en la web sobre el tema.Haciendo mi práctica me couldt lograr la solución de un ejemplo particular, que los estados de la siguiente manera $$ \int_0^6 (x^2+[x])d(|3-x|) = $$ De acuerdo a la asignación de la solución se supone que es de 63.

Traté de llegar a la solución por medio de dos diferentes maneras, pero ninguna solución coinciden.

He desarrollado el ejemplo como este $$ \int_0 ^3(x^2+[x])d(3-x) + \int_3^6 (x^2+[x])d(x-3) $$ lo que cancela el valor absoluto, y, a continuación, $$ \int_0 ^3(x^2\cdot d(3-x)) +\int_0 ^3([x]\cdot d(3-x) +\int_3 ^6(x^2\cdot d(x-3) +\int_3 ^6([x]\cdot d(x-3)= $$ El problema es que no puedo trabajar fuera de la integral que implica la$ [x]$ la función del suelo. He buscado en los archivos, pero no podía llegar cualquier sugerencia. No parece tan complicado, pero en realidad me'stuck.

Puede usted ayudar en algo? Gracias de antemano

Joao Pereira

Answer 1

Hacer la sustitución $u=3-x$. Entonces

$$\begin{align} I =&\int_{0}^{6}(x^{2}+\left\lfloor x\right\rfloor )d(\left\vert 3-x\right\vert )\\ =&\int_{3}^{-3}(\left( 3-u\right) ^{2}+\left\lfloor 3-u\right\rfloor )d(\left\vert u\right\vert ) \\ =&\int_{3}^{-3}(\left( 3-u\right) ^{2}+3+\left\lfloor -u\right\rfloor )d(\left\vert u\right\vert ), \end{align}$$ porque $$ \left\lfloor 3-u\right\rfloor =3+\left\lfloor -u\right\rfloor, $$ ya para $x$ real y $n$ entero, $\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor +n$. Por lo tanto

$$\begin{align} I=&-\int_{-3}^{0}(\left( 3-u\right) ^{2}+3+\left\lfloor -u\right\rfloor )d\left\vert u\right\vert-\int_{0}^{3}(\left( 3-u\right)^{2}+3+\left\lfloor -u\right\rfloor )d\left\vert u\right\vert\end{align}$$

y

$$\begin{align} I=&\int_{-3}^{0}(\left( 3-u\right) ^{2}+3+\left\lfloor -u\right\rfloor )du-\int_{0}^{3}(\left( 3-u\right) ^{2}+3+\left\lfloor -u\right\rfloor )du \end{align}$$

$$\begin{align} I=&\int_{-3}^{0}(\left( 3-u\right) ^{2}+3)du-\int_{0}^{3}(\left( 3-u\right) ^{2}+3)du \\&+\int_{-3}^{0}\left\lfloor -u\right\rfloor du-\int_{0}^{3}\left\lfloor -u\right\rfloor du.\end{align}$$

La primera de las dos integrales son $72$$18$. Como los dos últimos de su evaluación de la siguiente manera a partir de la definición de la función del suelo de $-u$

$$ \left\lfloor -u\right\rfloor =\left\{ \begin{array}{ccc} 2 & \text{if} & -3<x\le -2 \\ 1 & \text{if} & -2<x\le -1 \\ 0 & \text{if} & -1<x\le 0 \\ -1 & \text{if} & 0<x\le 1 \\ -2 & \text{if} & 1<x\le 2 \\ -3 & \text{if} & 2<x\le 3. \end{array} \right. $$

Así $$\begin{align} I=&72-18+\left( \int_{-3}^{-2}2du+\int_{-2}^{-1}1du+\int_{-1}^{0}0du\right)\\&-\left( \int_{0}^{1}-1du+\int_{1}^{2}-2du+\int_{2}^{3}-3du\right) \\ =&72-18+3-\left( -6\right) \\ =&63. \end{align}$$