Si los elementos de la matriz están acotados, su determinante está acotado

Question

Si los valores absolutos de todos los elementos de $n \times n$ matriz A son menores que 1, $|\det(A)| \leq n ^ {n/2}$

Se demuestra por inducción por n. La base es obvia, y la transición es la siguiente: considera el $n \times n$ matriz A'. Sean los elementos de la primera fila $a_0, ..., a_{n-1}$ . Entonces $\det(A') = \Sigma_{i=0}^{n-1} (-1)^{i} a_i \det(A_i)$ , donde $A_i$ son las matrices obtenidas de $A'$ borrando el $i$ columna y la primera fila. $\forall A_i \det(A_i) \leq (n-1)^{(n-1)/2}$ . Así que $\det(A') = \Sigma_{i=0}^{n-1} (-1)^{i} a_i \det(A_i) \leq \Sigma_{i=0}^{n-1} a_i (n-1)^{(n-1)/2} \leq n(n-1)^{(n-1)/2}.$ El último paso es demostrar que $\forall n \geq 2$ es cierto que $n(n-1)^{(n-1)/2} \leq n^{n/2} $ .

Aquí estoy atascado. Lo he trazado y es cierto, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo estrictamente. ¿Y tal vez exista una solución más elegante? La inducción es bastante aburrida.

Answer 1

Creo que esto funciona. Reformule el problema geométricamente. El problema consiste en demostrar que si se tiene $n$ vectores $v_1,\cdots,v_n$ en $\mathbb{R}^n$ Cada uno de ellos está obligado a estar en el hipercubo $\{|x_i| \leq 1; 1 \leq i\leq n\}$ entonces la longitud máxima de cada $v_i$ puede lograr es $\sqrt{n}$ (uniendo el origen con uno de los vértices del hipercubo). Por lo tanto, el valor absoluto del volumen del paralelepípedo que el $v_i$ está limitada por el producto de las longitudes máximas $(\sqrt{n})^n$ . Esto es lo que querías demostrar. Dejo a los demás la tarea de encontrar ejemplos de $v_i$ que maximizan el volumen absoluto, etc. Ahora debería ser sencillo. A veces ayuda pensar geométricamente (aunque en algunos casos, es difícil traducir del Álgebra a la Geometría).

Edición 1: Como ha señalado M. Winter, se trata esencialmente de la desigualdad de Hadamard, que yo utilizaba implícitamente (sólo estaba seguro de que tenía que ser cierta, pero no sabía que llevaba el nombre de Hadamard, por así decirlo).

Edición 2: Matrices de Hadamard, para los valores de $n$ para los que existen, maximizan el valor absoluto del determinante, bajo la restricción de que los valores absolutos de todos los elementos sean menores o iguales a 1.

Edit 3: Acabo de ver algunos comentarios de la OP, lo que indica que está trabajando sobre $\mathbb{C}$ . Sin embargo, se puede modificar simplemente la prueba para adaptarla al caso complejo. En $\mathbb{C}$ el límite es agudo, pero no creo que el límite sea agudo en general sobre $\mathbb{R}$ simplemente porque el complemento ortogonal de la línea que une el origen y un vértice del hipercubo podría no contener "suficientes" vértices del hipercubo en general como para formar una base ortogonal a partir de ellos (excepto en algunas dimensiones especiales, que son las dimensiones para las que existen las matrices de Hadamard).

Comentario: ¡Agradezco al OP esta pregunta, porque desconocía este bonito problema!