Demostrar que $O(n)$ es la máxima compacto subgrupo de $GL(n,\mathbb R)$

Question

La indicación es: Vamos a $P$ es simétrica positiva definida la matriz tal que la norma de $p^k$ es menor que una constante, $C$ para cada entero$k$,$P=I_n$.

Answer 1

Deje $K$ ser un equipo compacto subgrupo de $GL(n,\mathbb R)$. Deje $\beta:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ ser cualquier producto interior y considere la función $\bar \beta:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ tal que $\bar \beta(x,y)=\int \beta(kx,ky)\,\mathrm dk$ donde $\mathrm dk$ es la normalizado medida de Haar en $K$ (esto tiene sentido debido a que la función $k\in K\mapsto \beta(kx,ky)$ es continua. Uno puede fácilmente comprobar que $\bar\beta$ es un producto interior en $\mathbb R^n$ y que la acción de la $K$ $\mathbb R^n$ preserva $\bar\beta$. Esto significa que $K$ es conjugado a un subgrupo de $O(n,\mathbb R)$.

Answer 2

Deje $P$ ser simétrica positiva. Entonces es ortogonal $Q \in O(n)$, de tal manera que $Q^tPQ = \Lambda$ es diagonal. Tenemos $Q^tP^kQ = \Lambda^k$ por cada $k\in\mathbb Z$, por lo tanto $(\Lambda^k)$ también ha acotada norma, por $C'$, dicen. Pero ahora, por cada diagonal de la entrada $\lambda$ $\Lambda$ con la unidad autovector $e$: \[ \lambda^k = \|{\Lambda^ke}\| \le C'\|e\|, \quad k \in \mathbb Z \] Como $\lambda$ es real y positivo, esto implica $\lambda = 1$. Por lo $\Lambda = I_n$ y, por tanto,$P = I_n$.

Respecto a la pregunta del título: Vamos a $A \in GL(n,\mathbb R) \setminus O(n)$, entonces hay algunas $x$$\| x \| = 1$$\|Ax\| \ne 1$. Deje $Q \in O(n)$$Qx = \frac{Ax}{\|{Ax}\|}$. A continuación, $Q^tA$ mapas de $x$$\|Ax\|x$, por lo tanto $Q^tA$ $\|Ax\|$ como un valor propio. Desde $\|Ax\| \ne 1$, argumentando como en el anterior, no compacto subgrupo de $GL(n,\mathbb R)$ puede contener $Q^tA$. Así que no hay compacto subgrupo que contiene $O(n)$ puede contener $A$ y hemos terminado.

Answer 3

Muchas gracias! Tengo otra respuesta usando el teorema de descomposición polar, pero en realidad se utiliza la misma idea para el tuyo: Vamos a H ser un equipo compacto subgrupo de GL(n,R) que contiene O(n). Para g pertenece a H, escribe g=kp donde k\in O(n) y p es simétrica positiva definida. Entonces p=k^(-1)g, que pertenece a H. por lo tanto p^k pertenece a H por cada interger k. Puesto que H es compacto, por el lema que teníamos antes, p=I_n.