Hasta donde yo entiendo el interés en la auto-similitud nació fuera de las matemáticas. Los libros de texto que me llegó a través de dar un par de objetos como ejemplos (árbol, brócoli, río, etc) sin embargo, es claro que los ejemplos tienen una finalidad puramente didáctica. Entonces, ¿cómo fue exactamente lo que los matemáticos interesados en la auto-similitud?
Respuestas
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Considere la posibilidad de un pentágono regular con lado de longitud $s$ y la longitud de la diagonal $d$. La relación de la pentagonal longitud de la diagonal al lado de longitud es una constante que llamaremos $\phi=\frac{d}{s}$. Los antiguos griegos Pitagóricos originalmente se pensaba que cualquier número puede ser escrito como una fracción de dos números enteros positivos, y así, naturalmente, se supone que la relación $\phi$ obligatorio para algunos de los enteros positivos, decir $p$$q$, será igual a:
$$\phi=\frac{p}{q}.$$
De inicio, a continuación, con un pentágono tener longitud de la diagonal $d=p$ y laterales de longitud y $s=q$. Ahora, lógicamente, hay dos casos posibles: o bien los enteros $p$ $q$ ambos son múltiplos de algunos comunes entero $a$, es decir,
$$\begin{cases}\text{either }p=ma\text{ and }q=na,\\ \text{or }p\text{ and }q\text{ have no common factors other than }1.\end{casos}$$
Dibujar segmentos de línea que conecta los cinco diagonales dentro del pentágono. Los cinco puntos donde se intersecan las diagonales crear un pequeño pentágono anidada dentro de la original del pentágono. Usted sólo puede mostrar mediante el uso básico de la escuela secundaria de la geometría que la longitud de este pequeño pentágonos diagonal es $d^\prime=p-q$, y un lado de longitud es $s^\prime=2q-p$. Dado que la relación de la diagonal de a lado es constante,
$$\frac{p}{q}=\frac{p-q}{2q-p}.$$
El resultado es que la longitud lateral de la menor pentágono es un número entero mayor que o igual a uno, y el lado largo de la mayor pentágono es un múltiplo entero del lado más corto de longitud. Aquí es donde la similitud entra en juego. Si se itera el procedimiento de la construcción de cada vez más pequeños pentágonos anidada dentro de la partida pentágono ad infinitum (y la auto-similitud de la construcción implica que no hay ninguna razón por qué no deberíamos ser capaces de recorrer hasta el infinito), el argumento anterior implica que el lado largo de cada pentágono siempre debe ser un número entero mayor que o igual a uno. Pero, si se divide un número por un número entero mayor que uno, muchas veces, a continuación, usted puede finalmente obtener un resultado tan pequeño como el deseo (este es el Principio de Arquímedes en una cáscara de nuez). Así hemos generado una contradicción al infinito descenso. Por lo tanto, el número de $\phi$ debe ser irracional. Este número es más popularmente conocido como el Cociente de Oro.
La auto-similitud de argumentos como estos son la forma en que los Pitagóricos descubrieron la existencia de los números irracionales. Se desconoce si han descubierto la irracionalidad de la $\sqrt{2}$ o $\phi$ primera, pero no importa, una vez que se habían encontrado estos dos números irracionales, su visión de las matemáticas fue cambiado para siempre. Se podría decir que el geométrica de auto-similitud fue nuestra primera ventana al infinito matemático, de ahí su importancia.
myworldoftech
Puntos
1
Matemáticas en última instancia se deriva de los impulsos humanos para explicar, abstracto, y analizar nuestro mundo. Auto objetos similares aparecen por doquier en el mundo (sus ejemplos y muchos, muchos más: una rápida búsqueda en google de los fractales en la naturaleza se incluyen muchos), y nosotros, los seres humanos se han interesado desde tiempos antiguos (buscar "Apolíneo Junta" para un gran ejemplo). En cuanto a sus propiedades matemáticas, es probablemente la paradójica idea de "dimensión fractal" que es el más útil en la aplicación, pero son hermosas estructuras a estudiar en un nivel abstracto.
