Los límites de las secuencias de conjuntos

Question

Estoy empezando a aprender acerca de la liminf y limsup de una secuencia de conjuntos. Sin embargo, no entiendo los conceptos muy básicos, tales como por qué los $\lim\sup A_n=\bigcap_{n\in N}\bigcup_{k>n} A_k,$ y porqué $\lim\sup A_n=\bigcup_{n\in N}\bigcap_{k>n}A_k.$ alguien Puede romper estas definiciones abajo para mí?

También, ¿por qué es $\lim\inf\subseteq\lim\sup$?

Answer 1

Deje $\langle A_n:n\in\Bbb N\rangle$ ser una secuencia de conjuntos. Imaginemos, por ejemplo, que $A_0=[2,3]$, $A_1=\{4\}$, y $A_n=\left[-1,\frac1n\right]$$n\ge 2$. A continuación,$\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n=\varnothing$, pero eso es porque la $A_0$ $A_1$ realmente no 'encajan'; si se hace caso omiso de ellos, tendríamos un buen disminución de la secuencia de intervalos cerrados cuya intersección es $[-1,0]$. La idea de la $\liminf$ es tirar cualquier peculiaridades causada por un número finito de términos iniciales de la secuencia de conjuntos y llegar a lo que podríamos llamar el 'esencial' de intersección. Específicamente, en lugar de mirar el conjunto de puntos que están en todas las $A_n$'s, nos fijamos en los puntos que están en todas las $A_n$ a partir de algún punto. Dichos puntos se dijo para ser , finalmente, en los conjuntos de la secuencia.

Específicamente, $\bigcap_{n\ge m}A_n$ es el conjunto de puntos que están en $A_m,A_{m+1},A_{m+2},\ldots$, es decir, en cada $A_n$$m$. Temporalmente decir que un punto es $m$-bien si pertenece a todos los $A_n$$n\ge m$; a continuación, $\bigcap_{n\ge m}A_n$ es el conjunto de puntos que se $m$-bien. Por lo tanto, $\bigcup_{m\in\Bbb N}\bigcap_{n\ge m}A_n$ es el conjunto de puntos que se $m$-bien por lo menos un $m\in\Bbb N$. Estos "buenos" los puntos son precisamente los puntos que son, finalmente, en los términos de la secuencia de $\langle A_n:n\in\Bbb N\rangle$, por lo que son precisamente los que la queremos en $\liminf_{n\in\Bbb N}A_n$, y definimos

$$\liminf_{n\in\Bbb N}A_n=\bigcup_{m\in\Bbb N}\bigcap_{n\ge m}A_n\;.$$

Ahora vamos a $A_0=\{2\}$, $A_1=[0,1]$, $A_2=[-1,0]$, y $A_n=\{3(-1)^n\}$$n\ge 3$, por lo que el $A_3=A_5=A_7=\ldots=\{-3\}$, e $A_4=A_6=\ldots=\{3\}$. Entonces

$$\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n=[-1,1]\cup\{-3,2,3\}\;,$$

pero de nuevo esto es un poco engañoso: los puntos de $[-1,1]$ están en la unión sólo por $A_0,A_1$, e $A_2$, y sin esas tres conjuntos de la unión sería $\{-3,3\}$. El $\limsup$ está diseñado para llegar a la 'esencial' parte de la unión, incluyendo sólo los puntos que se encuentran en infinidad de de los conjuntos de $A_n$. Dichos puntos se dice con frecuencia en los conjuntos de la secuencia.

Específicamente, $\bigcup_{n\ge m}A_n$ contiene cada punto que se encuentra en al menos uno de los $A_n$$n\ge m$, por lo que si definimos

$$\limsup_{n\in\Bbb N}A_n=\bigcap_{m\in\Bbb N}\bigcup_{n\ge m}A_n\;,$$

estamos diciendo que los $\limsup_{n\in\Bbb N}A_n$ es el conjunto de puntos de $x$ que tiene la siguiente propiedad:

no importa cómo es grande un $m\in\Bbb N$ elegir, hay un $n\ge m$ tal que $x\in A_n$.

Un poco de pensamiento debe convencer de que esto realmente dice que $\{n\in\Bbb N:x\in A_n\}$ es infinito, que es precisamente la idea que queríamos capturar.

Answer 2

Hay dos nociones de límites

$$\lim\sup A_n=\{x\in X\mid \forall n\in N\exists k>n:x\in A_k\}=\bigcap_{n\in N}\bigcup_{k>n} A_k$$ En otras palabras, $\lim\sup$ es el conjunto de $x$ que se encuentran en infinidad de $A_k$.

$$\lim\inf A_n=\{x\in X \mid \exists n\in N\forall k>n: x\in A_k\}=\bigcup_{n\in N}\bigcap_{k>n}A_k$$ Este es el set de $x$ que están en cada una de las $A_k$ a partir de un índice $n$. La comparación de estas descripciones se sigue inmediatamente que $\lim\inf\subseteq\lim\sup$

Si $\lim\sup A_n=\lim\inf A_n$, luego esta se define como el límite de $\lim A_n$. Son iguales, por ejemplo, si la secuencia es creciente o decreciente.