Problema
Maximizar $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}$
Con el cálculo, este problema podría resolverse fácilmente mediante el establecimiento $f'(x)=0$ y la obtención de $x=\frac{1}{2}$, luego de comprobar que $f''(\frac{1}{2})<0$ para obtener la respuesta final de la $f(\frac{1}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
La motivación detrás de esta función proviene de maximizar el área de un triángulo inscrito en el círculo unidad, para cualquier persona que es curiosa.
Mi Intento
$$f(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1-x^2)(1+x)^2}=\sqrt 3 \sqrt{(1-x^2)\frac{(1+x)^2}{3}}$$
Por el AM-GM de la Desigualdad, $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$, con igualdad de iff $a=b$
Esto significa que
$$\sqrt 3 \sqrt{ab} \leq \frac{\sqrt 3}{2}(a+b)$$
Sustituyendo $a=1-x^2, b=\frac{(1+x)^2}{3}$,
$$f(x)=\sqrt 3 \sqrt{(1-x^2)\frac{(1+x)^2}{3}} \leq \frac{\sqrt 3}{2} \left((1-x^2)+\frac{(1+x)^2}{3}\right)$$
$$=\frac{\sqrt 3}{2} \left(\frac{4}{3} -\frac{2}{3} x^2 + \frac{2}{3} x\right)$$
$$=-\frac{\sqrt 3}{2}\frac{2}{3}(x^2-x-2)$$
$$=-\frac{\sqrt 3}{3}\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)$$
$$\leq -\frac{\sqrt 3}{3}\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{3\sqrt 3}{4}$$
Tanto la desigualdad de la igualdad cuando la $x=\frac{1}{2}$
Por lo tanto, $f(x)$ es máxima en $\frac{3\sqrt 3}{4}$ cuando $x=\frac{1}{2}$
Sin embargo, esta solución es (más bien, obviamente, creo) en exceso de ingeniería inversa, con las dos desigualdades cuidadosamente manipulados para dar a idénticas condiciones de igualdad de $x=\frac{1}{2}$. ¿Hay alguna mejor o más "natural" para encontrar el punto mínimo, tal vez con mejores usos de AM-GM o de otras desigualdades, como las de Jensen la desigualdad?
