Intersección de dos tetraedros, punto de reflexion

Question

Nos han dado un tetraedro regular $ABCD$ ($ABC$ es su base y $D$ es su vértice) y lo reflejamos a través de la mitad de su altura (punto de reflexión) -, y así obtener una congruentes tetraedro regular $A'B'C'D'$.

$D'$ se encuentra en el centro de la $ABC$, e $D$ en el centro de la $A'B'C'$.

Planos $\pi (ABC) \ || \ \pi (A'B'C'), \ \ \ \pi (ABD) \ || \ \pi (A'B'D'), \ \ \ \pi (B'C'D') \ || \ \pi (BCD)$, $ \ \ \ \pi (A'C'D') \ || \ \pi (ACD)$.

Hice un dibujo y creo que la intersección de los dos tetraedros es un paralelepípedo, pero no sé cómo demostrarlo de manera más formal (quiero decir, sé que los lados respectivos de los tetraedros son paralelas, porque nos reflejan $ABCD$ en un punto, pero no estoy seguro de si eso es suficiente).

En segundo lugar, ¿cómo podemos calcular el volumen de la intersección?

Me podrían ayudar con eso?

Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que la región de intersección de ha $6$ caras: una para cada cara no paralelo a la base de $ABCD$. Además, por la construcción sabemos que esta región ha $3$ pares de caras paralelas.

Esto es suficiente para concluir que la región de intersección es un paralelepípedo. Aquí o aquí puede ver un conjunto de definiciones equivalentes de paralelepípedo.

Para el volumen, vamos a utilizar la observación de que si se puede calcular la longitud de la $x$ donde $x$ es un borde de la paralelepípedo, podemos calcular el volumen del paralelepípedo con $V=6\frac{x^3}{6\sqrt{2}}=\frac{x^3}{\sqrt{2}}$. Para ver esto consideremos la $3$ vectores de longitud $x$ $D$ en las direcciones de $A$, $B$, y $C$. Forman un tetraedro regular, y el volumen de un paralelepípedo formado a partir de $3$ vectores es $6$ veces el volumen del tetraedro formado a partir de los $3$ vectores.

Para calcular el $x$, podemos utilizar un poco de enfoque complicado. En primer lugar, tenga en cuenta que la proyección de cada uno de estos vectores en el segmento de la línea de $DD'$ es el mismo, pero la suma de las 3 proyecciones es sólo $|DD'|$, por lo que la proyección de uno de ellos en $DD'$$\frac{1}{3}|DD'|$. Por semejanza de triángulos tenemos $$\frac{x}{|DA|}=\frac{\frac{1}{3}|DD'|}{|DD'|}\rightarrow\frac{x}{|DA|}=\frac{1}{3}\rightarrow x=\frac{1}{3},$$

lo que resulta en un volumen total final de $V=\frac{1}{27\sqrt{2}}$.

Answer 2

La intersección está delimitado por tres pares de planos paralelos (pares de planos faciales de los respectivos tetraedros), por lo que está a la derecha que la intersección es una parallelipiped.

Para encontrar el volumen en términos de la longitud de la arista $3\ell$ de un tetraedro, tenga en cuenta que cada cara de la intersección es un rombo compuesto de dos triángulos equiláteros de la longitud de la arista $\ell$, por lo que el área de la base es $(\sqrt{3}/2)\ell^{2}$, y que la "altura" de la intersección (medido en forma ortogonal a una cara) es $(\sqrt{2}/\sqrt{3})\ell$, la altura de un tetraedro regular de lado de longitud $\ell$. El volumen es, en consecuencia,$\ell^{3}/\sqrt{2}$.