Número de ideales distintos de $Z_{60}?$

Question

Intenta contar todos los números primos entre $0$ a $60$ y añadiendo $(0)$ y (R) a ella. que es total $19$ , pero he visto que la respuesta es $18$ . Así que, por favor, explique.

Answer 1

$\tau(60)=12$ por lo que hay $12$ ideales

Nota: Los ideales en $Z_n$ son precisamente los conjuntos de la forma $<d>$ donde $d$ divide $n$ por lo que el número de ideales es igual al número de divisores de $n$

Answer 2

Los ideales de $\mathbb Z/60$ corresponden a los ideales de $\mathbb Z$ que contienen $60\mathbb Z$ y por tanto corresponden a los divisores de $60$ . Desde $60=2^2\cdot 3 \cdot 5$ tiene $(2+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=12$ divisores.

Answer 3

Como la otra lista de respuestas, el número de ideales es en realidad $12$ . Otra forma de demostrarlo es utilizar el Teorema del Resto Chino, que da un isomorfismo $$\mathbb Z\diagup60\mathbb Z \xrightarrow{\sim} \left(\mathbb Z\diagup4\mathbb Z\right) \times \left(\mathbb Z\diagup3\mathbb Z\right) \times \left(\mathbb Z\diagup5 \mathbb Z\right)$$

Por lo tanto, el número de ideales en $\mathbb Z\diagup60\mathbb Z$ es el producto del número de ideales de los tres factores. Dado que $\mathbb Z\diagup3\mathbb Z$ y $\mathbb Z\diagup 5\mathbb Z$ son campos, sólo tienen $2$ ideales (el ideal cero y el ideal ideal unitario). $\mathbb Z\diagup4\mathbb Z$ además tiene el ideal $(2)$ ; $(3)$ se ve fácilmente que es idéntico al ideal unitario. Así que el resultado es $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ .