En el cociente grupo $\pi_{1}(K)/N$ para la botella de Klein $K$

Question

Sé que la botella de Klein $K$ se obtiene a partir de la unidad de la plaza de la toma de las identificaciones, en el límite con la correspondiente flechas direccionales. Generalmente, lo que se hace es que se identifica el punto de $(0,t) \sim (1,1-t)$ y el punto de $(t,0) \sim (t,1)$ $\forall t \in [0,1]$.

Ahora supongamos que nos vamos a $a \in \pi_{1}(K)$ (grupo fundamental de la $K$) ser representado por el camino de $\gamma(t)= [(0,t)]$ donde $[(x,y)]$ es el elemento de la $K$ representado por $(x,y) \in I^2$. Del mismo modo, nos vamos a $b \in \pi_{1}(K)$ ser representados por el camino de $\delta(t)= [(t,0)]$. Ahora sé que $\pi_{1}(K)$ tiene la presentación $\langle a, b $ $\vert$ $bab^{-1}a= 1 \rangle$. Si dejamos $N= \langle a \rangle= \{a^k: k \in \mathbb{Z}\}$, ya que el $bab^{-1}= a^{-1} \in N$, se deduce que el $N$ es un subgrupo normal de $\pi_{1}(K)$. ¿Este parecer sobre la derecha hasta el momento?

Mi pregunta es que ¿cuál es entonces el cociente grupo $\pi_{1}(K)/N$? No estoy seguro de si es infinito cíclico, pero creo que tiene que ser generado por $b$. Me gustaría saber cómo puedo probar esta afirmación. Me encontré con esta pregunta en una topología vieja prelim desde hace unos cinco años. Parece como si la necesidad de cepillar para arriba en algunos teoría de grupo!

Answer 1

A partir de la relación $bab^{-1}a = 1$, se puede obtener $ba = a^{-1}b$$ab = ba^{-1}$.

Por lo tanto usted puede escribir cada elemento de a $\pi_1(K)$ únicamente como $b^ma^n$, la multiplicación de dos de estos elementos produce

$$b^ma^nb^pa^r = b^{m+1}a^{-n}b^{p-1}a^r = \dotsc = b^{m+p}a^{(-1)^pn + r},$$

por lo tanto, de hecho, usted tiene

$$\pi_1(K)/\langle a\rangle \cong \langle [b]\rangle$$

infinito cíclico.

Answer 2

Permítanme darles un poco "más ágil" solución de Daniel Fischer. Puede parecer un poco más largo, pero una vez te acostumbras a el método que usted puede hacer fuera de la parte superior de su cabeza. Va a tomar usted, literalmente, diez segundos! El punto de esta respuesta, es decir: Se le ha dado una presentación para usarlo!

Recordemos la presentación de la botella Klein grupo es $G=\langle a, b; b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$. Luego de la presentación $$H=\langle a, b; b^{-1}ab=a^{-1}, a=1\rangle$$ is, by definition, the group $$G/\langle\langle a\rangle\rangle$$ where $\langle\langle\rangle\rangle$ is the normal closure of $$, that is, the smallest normal subgroup of $G$ containing $$. Therefore, $\langle\langle\rangle\rangle=N$, and so $G/N\cong H$ has the above presentation, which is clearly seen to be infinite cyclic after applying Tietze transformations (that is, remove $un$ from the list of generators and replace it with the identity wherever it appears in the relations, so you get $$\langle b; b^{-1}b=1\rangle\cong\langle b; -\rangle\cong\mathbb{Z}$$ como es requerido).

Answer 3

El grupo fundamental de la botella de Klein es una división de grupo de extensión de Z por Z

0 -> Z -> K -> Z> 0

Donde el generador, b, del cociente Z actúa por la negación en el núcleo Z de la secuencia exacta de los grupos.

Esto es fácil de ver en la relación, b^-1ab=^-1. No hay relaciones en las potencias de a y b por separado para cada uno de ellos generar infinito cíclico grupos a y b niega el poder de un bajo de la conjugación.