Al estimar el área bajo una curva, ¿es más preciso promediar los valores de las sumas superiores e inferiores o utilizar en su lugar los puntos medios de los intervalos?
Supondría que varía, pero solo quería saber cuál es la mejor manera de estimar el área bajo una curva cuando no se han dado instrucciones sobre cómo hacerlo.
Su pregunta es sobre el análisis de errores de los Métodos Numéricos de aproximación de una integral definida.
Tanto la regla del punto medio como la regla del trapecio tienen un error global que es $O(h^2)$ donde $h=(b-a)/n$ es el tamaño del paso.
Esto significa que si duplica su $n$ el error se divide por 4.
Entre la regla del punto medio y la regla del trapecio, el punto medio es la mejor elección porque su estimación de error es la mitad de la regla del trapecio.
La estimación del error para la regla del trapecio es $$ -\frac {(b-a)h^2}{12}f''(\eta)$$ Mientras que la estimación del error para la regla del punto medio es $$ \frac {(b-a)h^2}{24}f''(\eta)$$ donde $\eta \in [a,b]$ depende de la función.
Tenga en cuenta que las dos $\eta$ son diferentes en general. Si bien es "por lo general" mejor el punto medio, hay casos en los que la regla del trapecio resulta ser mejor.
El error del punto medio puede ser mayor que el error trapezoidal cuando el integrando muestra un alto grado de curvatura en un subintervalo pequeño. Ver aquí.
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Todos los métodos que has enumerado son solo estimaciones. Ninguno de ellos es exacto. La 'mejor' manera de encontrar el área es la integración.