La fórmula para la integración de los límites de forma recursiva definida por el polinomio de secuencia

Question

Podemos definir de forma recursiva una secuencia de polinomios por

$$P_0(x) := 1$$

y, a continuación, con la integral definida

$$P_n(x) := \int_{c_n}^x P_{n-1}(t) ~\mathrm dt$$

donde el $c_n$ han de ser elegidos de modo que

$$\int_0^1 P_n(t)~\mathrm dt = 0$$

así, por $n = 1$ tenemos $P_1(x) = x - c_1$$c_1 = 1/2$. Sin embargo, ya para $n=2$ se hace difícil desde $\int_{c_2}^x (t-1/2)~\mathrm dt = t^2/2 - t/2- c_2^2/2 + c_2/2$ e tienen $\int_0^1 P_2(t)~\mathrm dt = 0$ hay dos soluciones para $c_2$ es decir

$$c_2 = 1/2 \pm \sqrt 3/6.$$

Por lo $P_2(x) = x^2/2 - x/2 + 1/12$. Para $n=3$ obtenemos $c_3 = 0$ $P_3(x) = x^3/6 - x^2/4 + x/12$ sin embargo, para $n=4$ tenemos $c_4=1/2 - 1/2\sqrt (1 - 2/15\sqrt 30)$ (y otros 3 soluciones) por $P_4(x)=x^4/24 - x^3/12 + x^2/24 - 1/720$. Para $n=5$ $c_5=0$ (sin embargo, hay otro 4 soluciones). ¿Hay alguna Fórmula general para la $c_n$, por lo que podríamos tener un acceso directo para el cálculo de los coeficientes de $P_n(x)$? También con un ojo fraccional de cálculo sería bueno saber si para la de Riemann-Liouville integral

$$\frac1{\Gamma(\alpha)} \int_c^x P(t) (x-t)^{\alpha-1}~\mathrm dt$$ y

$$\int_0^1 P(t)~\mathrm dt = 0$$

si hay incluso una solución para esto - y mucho menos si encajaría en el anteriormente secuencia definida. El sueño resultado sería, por supuesto, no sólo tener una fórmula para$c_n$, pero en función de $c(n)$ que continuamente se define un polinomio de la secuencia. Pero me parece muy remoto, pues incluso en los casos más sencillos, con, por ejemplo, $\alpha = 1/2$ $c>0$ integral produce valores complejos...

Answer 1

No puedo comentar, pero tu problema ve terriblemente como el método para la generación de los polinomios de Bernoulli $B_n(x)$, excepto que en lugar de la relación $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}P_n(x)=P_{n-1}(x)$ que usted tiene, los polinomios de Bernoulli tiene la relación $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}B_n(x)=nB_{n-1}(x)$. Esto podría ser algo para empezar...

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Como Fabian parece haberse establecido la relación de su polinomios a la más convencional de los polinomios de Bernoulli, voy a abordar la cuestión de la generalización de los polinomios de Bernoulli a índice arbitrarios; una manera para esto es el uso de la exponencial de generación de función

$$\frac{t\exp(zt)}{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n(z)}{n!}t^n$$

junto con la diferenciación de Cauchy fórmula

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\mathrm dz;$$

es decir, considerar la integral de contorno

$$B_\alpha(z)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{t\exp(zt)}{\exp(t)-1} \frac{\mathrm dt}{t^{\alpha+1}},$$

donde $\gamma$ es un en el sentido contrario de contorno que no cruza el eje real negativo, y se encuentra dentro del círculo con un radio de $2\pi$ (debido a las restricciones del radio de convergencia de la EGF). Yo diría que más, pero parece que hay un trabajo previo por Butzer et al., y así voy a tener que pedirle que ver que papel.

Answer 2

No sé acerca de las $c$'s. Pero encontrar los polinomios $P_n(t)$ no es tan difícil. Como ya se ha señalado gorila $$\frac{d}{dx} P_n(t) = P_{n-1}(t). \qquad (1)$$ Esto determina los polinomios $P_n(t)$ junto con la normalización $$\int_0^1 dt\, P_n(t) = 0 \qquad n\neq0 \qquad (2)$$ y la condición inicial $P_0(t)=1$ única (todos los diferentes $c$'s en que post, que son las soluciones de algunos ecuación polinómica conducen a la misma $P_n$!).

Cada recursividad paso agrega un grado del polinomio y por lo tanto, podemos parametrizar la $n$-ésimo polinomio como $$ P_n(t) = \sum_{j=0}^n \frac{a_{n-j}}{j!} t^j = \frac{a_0}{n!} t^n + \frac{a_1}{(n-1)!} t^{n-1}+ \dots\;.$$ Con este ansatz Eq. (1) es automáticamente cumplido. La ecuación (2) nos lleva a la condición $$ \sum_{j=0}^n \frac{a_{n-j}}{(j+1)!} =0$$ con la solución $$a_n = -\sum_{j=1}^n \frac{a_{n-j}}{(j+1)!}.$$ Esto define una relación de recursividad para los coeficientes $a_n$ ($a_0=1$ como condición inicial).

La recursividad relación tiene la solución $a_n = \frac{B_n}{n!}$ con $B_n$ $n$- ésimo número de Bernoulli. El polinomio $P_n$, con lo que se da por $$P_n(t) = \sum_{j=0}^n \frac{B_{n-j}}{j!(n-j)!} t^j = \frac{B_n(t)}{n!},$$ con $B_n(t)$ los polinomios de Bernoulli.