Integral usando coordenadas esféricas

Question

Estoy tratando de calcular el volumen de la serie siguiente :

intersección del cilindro $x^2 + y^2 \leq R$ y en el ámbito $x^2 + y^2 + z^2 \leq 4R^2$.

Estoy teniendo problemas para configurar la integral correctamente después de la transformación a coordenadas esféricas no estoy seguro de donde la esfera y el cilindro de cumplir y cómo calcular el volumen de la parte superior.

Yo podría utilizar un poco de ayuda. Gracias

Answer 1

En realidad en este caso no necesita ni coordenadas esféricas ni cilíndrico. Usted puede encontrar el volumen utilizando la integral doble. Si $\sqrt{R}\le 2R$ es igual $$ V=2\int\int_{x^2+y^2\le R}\sqrt{4R^2-x^2-y^2}dxdy=2\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\sqrt R}r\sqrt{4R^2-r^2}dr\right)d\varphi .$$ Creo que se puede administrar para calcular la última integral.

Answer 2

En realidad el uso de coordenadas esféricas: vamos a $\alpha=\arcsin(1/(2\sqrt{R}))$ (para su uso en un par de los límites -- esta es la $\phi$ ángulo donde la esfera y el cilindro se cruzan, la integral con respecto a $\phi$ está dividida en dos partes), y calcular el volumen de la parte superior a la mitad y duplicar el volumen total es $$ 2\left[ \int_0^{2\pi}\int_0^\alpha\int_0^{2R} \rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ +\int_0^{2\pi}\int_\alpha^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{R}\csc\phi} \rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta \right] $$ OK, ahora está usted absolutamente seguro de que esto es cómo usted desea hacer esto? Estoy de acuerdo con otros que han sugerido que las coordenadas cilíndricas puede ser más fácil.