¿Cómo dibujar un triángulo $ABC$ mediante el uso de regla y el compás conociendo dos lados y su mediana?

Question

Quiero construir un triángulo $ABC$ mediante el uso de borde y de la brújula. Sé que $\overline{AB}=c, \overline{AC}=b$ y la medida de la mediana relativa al lado de la $BC$$m_{a}$.

Aquí es lo que he pensado. Primero he construido el triángulo $XYZ$ tal que $\overline{XY}=c, \overline{XZ}=c$ $\overline{YZ}=2m_{a}.$ Deje $M$ ser el punto medio de la $YZ$. En la mitad de la línea de XM I marcó el punto de $X'$ tal que $\overline{XM}=\overline{MX'}$. Por lo tanto los triángulos $MYX$ $MX'Z$ son similares. El triángulo $XZX'$ es el triángulo que estoy tratando de construir. Pero no hay (al menos) un error aquí, porque no sé si puedo construt el triángulo $XYZ$.

Agradecería su ayuda.

Answer 1

Lo que queremos es un paralelogramo con lados de $b,c$ y una diagonal $2m.$, dibuja el triángulo con lados de $b,c,2m.$ Girar alrededor de la mitad de la $2m$ lado para hacer un paralelogramo. La mitad de la figura es su triángulo $ABC.$

Imagen:

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Answer 2

Aunque la respuesta a es técnicamente correcta, que probablemente no es el tipo de respuesta deseada. Pero esto muestra el poder de la algebraicas punto de vista: el de la construcción se puede encontrar mecánicamente.

Es fácil mostrar el uso de, por ejemplo, el Coseno de la Ley, que si $m=m_a$ es la longitud de la mediana de a lado $BC$,$b^2+c^2=2m^2+\frac{a^2}{2}$, y por lo tanto $$a=\sqrt{2b^2+2c^2-4m^2}.$$ Se nos da $b$, $c$, y $m$. Hay técnicas estándar de la multiplicación de dos longitudes mediante la regla y el compás, para sumar y restar, y para la construcción de las raíces cuadradas. Así podemos construir un segmento de recta de longitud $a$.

Ahora que tenemos los segmentos de línea de la longitud $a$, $b$, $c$, hay una sencilla regla y el compás de la construcción de un triángulo con lados $a$, $b$, y $c$.

Comentario: Por el bien de la familiaridad, hemos utilizado los principios de la edad moderna notación algebraica. Pero precisamente la misma cosa se puede hacer uso estrictamente Euclidiana idioma.

Answer 3

Fix$A, B$, de modo que $AB$ tiene la distancia correcta de $c$. Deje $O$ ser el punto medio de AB. Construir la circunferencia de radio $b/2$, centrada en $O$. La mediana de la $M$ lado $BC$ está en este círculo desde $OM$ es paralelo a $AC$ y la mitad de la longitud. También se $M$ se encuentra en el círculo centrado en $A$ radio $m_a$. La intersección de estos dos círculos se da, por tanto, el punto de $M$. Así que ahora completa el triángulo, ya que $AC$ es paralelo a $OM$.