La foto de abajo es de el Tao de los blogs, yo entiendo el Asesinato como forma $$ B(x,y)=\operatorname{trace}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)) $$ $SO(4)$ es el grupo que actúe en $S^3$.
No entiendo el contenido por encima de la línea roja.
Respuesta
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Supongamos $G$ es un compacto de Lie del grupo que actúa libremente y isométricamente en un colector de Riemann $M$ con métrica $\langle \cdot, \cdot \rangle$. A continuación, el espacial en órbita $M/G$ es un colector de la que hereda una métrica de Riemann de la proyección de $\pi:M\rightarrow M/G$, de la siguiente manera.
Para cada $m\in M$, $d_m \pi:T_m M\rightarrow T_{mG} M/G$ tiene un núcleo, lo que da una descomposición ortogonal $T_m M = \ker d_m \pi \oplus H_m$ donde $H_m$ es el llamado espacio horizontal. A continuación, $d_m\pi|_{H_m}:H_m\rightarrow T_{mG} M/G$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Entonces, para $v,w\in T_{mG} M/G$, se define un producto interior $(v,w) = \langle (d_m \pi)^{-1} v, (d_m \pi)^{-1} w\rangle.$
Un posible problema: supongamos $mG = m' G$, podemos obtener una definición coherente de $(\cdot, \cdot)$?
Bueno, si $m = m'$, $m = f(m')$ algunos $f\in G\subseteq Iso(M)$. A continuación, tenga en cuenta que $\pi \circ f = \pi$. Por lo tanto, por la regla de la cadena, tenemos $d_m \pi = d_{m'}\pi \circ d_m f$. De ello se desprende que $d_m f$ mapas de $H_m$ isomorphically en $H_{m'}$ y, además, este mapa es una isometría porque $f$ es. Esto le da a $\langle (d_m \pi)^{-1} v, (d_m \pi)^{-1} w\rangle = \langle (d_{m'} \pi)^{-1} v, (d_{m'}\pi)^{-1} w\rangle$, por lo que la medida no es bien definido.
En su caso particular, $H = SO(3)$ actúa por derecho de multiplicación en $M = SO(4)$, que está equipado con un bi-invariante de la métrica de Riemann, la negativa de la Matanza forma. A continuación, el cociente del espacio de $M/G = SO(4)/SO(3)$ hereda una métrica como en el anterior.
Finalmente, el mapa de $\pi:SO(4)\rightarrow S^3$ dado por la asignación de la última columna de una matriz en la $SO(4)$ $SO(3)$- invariante e induce un diffeomorphism $SO(4)/SO(3)\rightarrow S^3$. El uso de este diffeomorphsm para el transporte de la métrica de Riemann de$SO(4)/SO(3)$$S^3$.
